Rechenmethoden der Analysis :
Exponentialfunktionen und Wachstum

B & S Skriptendienst, 2006

Inhalt

1. Die Ableitung von Exponentialfunktionen 1
1.1 Einfache Form 1
1.2 Komplizierte Form: Ketten-, Produkt- und Quotientenregel 1

2. Besondere Eigenschaften von Exponentialfunktionen, 4 Asymptoten
2.1 Exponentialgleichungen 4
2.2 Verhalten im Unendlichen, Asymptoten 9

3. Die Kurvendiskussion 16
3.1 Ableitungen 16
3.2 Symmetrie 17
3.3 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 18
3.3.1 Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) 18
3.3.2 Schnittpunkte mit der y-Achse 19
3.4 Verhalten im Unendlichen 19
3.5 Extrempunkte 20
3.6 Wendepunkte 21
3.7 Graph der Funktion 23

4. Aufstellen von Tangenten und Normalen 25
4.1 Tangente / Normale in einem Punkt 25
4.2 Tangente / Normale von einem Punkt ausgehend 27

5. Extremwertaufgaben 29

6. Integralrechnung 36

6.1 Stammfunktionen 36
6.1.1 Einfache Form 36
6.1.2 Die lineare Verkettung 36
6.1.3 Kompliziertere Formen 38
6.2 Berechnung von Flächeninhalten 38
6.2.1 Fläche mit der x-Achse 39
6.2.2 Fläche zwischen zwei Funktionen 41
6.2.3 Fläche zwischen Funktion und Asymptote 43
6.2.4 Uneigentliches Integral 45
6.3 Der Rauminhalt von Rotationskörpern 46

7. Funktionsscharen 49
7.1 Punktprobe 49
7.2 Gemeinsamer Punkt 49
7.3 Einfluss des Parameters auf Anzahl und Art von Lösungen 50
7.4 Die Ortskurve / Ortslinie 53
7.5 Berühren und senkrecht schneiden 55
7.6 Parameter in der Integralrechnung 57

8. Wachstums- und Zerfallsprozesse 60
8.1 Exponentielles Wachstum / exponentieller Zerfall 60
8.1.1 Aufstellen der Wachstums- bzw. Zerfallsfunktion 61
8.1.1.1 Anfangswert und weiterer Funktionswert gegeben 62
8.1.1.2 Zwei Funktionswerte gegeben 62
8.1.1.3 Anfangswert und prozentuale Zunahme / Abnahme 64
8.1.1.4 Anfangswert und Verdopplungszeit / Halbwertszeit 64
8.1.1.5 Anfangswert und Differenzialgleichung gegeben 64
8.1.1.6 Funktionswert und Differenzialgleichung gegeben 65
8.1.2 Arbeiten mit der Wachstums- bzw. Zerfallsfunktion 65
8.1.2.1 Differentialgleichung bestimmen 66
8.1.2.2 Bestand zu einem vorgegebenen Zeitpunkt bestimmen 66
8.1.2.3 Zeitpunkt zu einem vorgegebenen Bestand bestimmen 66
8.1.2.4 Verdopplungszeit / Halbwertszeit bestimmen 67
8.1.2.5 Prozentuale Zunahme / Abnahme bestimmen 67
8.1.2.6 Zeitpunkt zu einer vorgegebenen Änderungsrate 67
8.2. Beschränktes Wachstum / beschränkter Zerfall 68
8.2.1 Aufstellen der Wachstums- bzw. Zerfallsfunktion 69
8.2.1.1 Anfangswert, Schranke und weiterer Funktionswert 70
8.2.1.2 Anfangswert und explizite Differenzialgleichung 71
8.2.1.3 Anfangswert und umschriebene Differenzialgleichung 72
8.2.1.4 Anfangswert, weiterer Funktionswert und Proportionalität 73
8.2.2 Arbeiten mit der Wachstums- bzw. Zerfallsfunktion 74
8.2.2.1 Differenzialgleichung bestimmen 74
8.2.2.2 Bestand zu einem vorgegebenen Zeitpunkt bestimmen 75
8.2.2.3 Zeitpunkt zu einem vorgegebenen Bestand bestimmen 75
8.2.2.4 Zeitpunkt zu einer vorgegebenen Änderungsrate 75
8.3 Sonstige Wachstums- und Zerfallsprozesse 77