Rechenmethoden der Analytischen Geometrie - B & S Skriptendienst, 2006 - Inhalt
Einleitung 1
1. Lineare Gleichungssysteme (LGS) 2
1.1 Der Gauß-Algorithmus 2
1.2 Besondere Gleichungssysteme 4
1.2.1 3 Gleichungen, 2 Unbekannte 4
1.2.2 2 Gleichungen, 3 Unbekannte 5
1.2.3 3 Gleichungen, 3 Unbekannte 6
1.2.4 3 Gleichungen, 4 Unbekannte 9
1.3 LGS mit Parameter 10
2. Grundlagen der Vektorrechnung 12
2.1 Bestimmung eines Vektors aus zwei Punkten, 12
Ortsvektoren
2.2 Vektoraddition und Vervielfachen von Vektoren, 13
Linearkombination
2.3 Berechnung besonderer Punkte 15
2.3.1 Fehlender Punkt eines Parallelogramms 15
2.3.2 Mittelpunkt zweier Punkte 16
2.3.2 Schwerpunkt eines Dreiecks 16
2.4. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von 17
Vektoren, Basis
2.5 Teilverhältnisse 20
3. Geraden 23
3.1 Aufstellen einer Gerade aus zwei Punkten 24
3.2 Lage eines Punktes zu einer Geraden (P-g) 25
3.3 Gegenseitige Lage zweier Geraden (g-g) 26
4. Ebenen 29
4.1 Notwendige Grundlagen 29
4.1.1 Das Skalarprodukt 29
4.1.2 Der Betrag eines Vektors 30
4.1.3 Normierte Vektoren 30
4.1.4 Der Normalenvektor 31
4.1.5 Das Kreuzprodukt / Vektorprodukt 32
4.1.6 Winkel zwischen 2 Vektoren 33
4.2 Ebenendarstellungen 34
Rechenmethoden der Analytischen Geometrie
B & S Skriptendienst, 2006
4.2.1 Parameterform der Ebenengleichung 34
4.2.2 Normalenform der Ebenengleichung 35
4.2.3 Koordinatenform der Ebenengleichung 36
4.3 Aufstellen von Ebenengleichungen 36
4.3.1 Ebene aus 3 Punkten 36
4.3.2 Ebene aus Punkt und Gerade 37
4.3.3 Ebene aus sich schneidenden Geraden 38
4.3.4 Ebene aus parallelen Geraden 39
4.3.5 Ebene aus einem Punkt und einer orthogonalen Geraden 41
4.3.6 Ebene aus einem Punkt und einer parallelen Ebene 42
4.3.7 Ebene aus 2 Punkten und einer orthogonalen Ebene 43
4.3.8 Ebene aus einer Geraden und einer orthogonalen Ebene 44
4.4 Umrechnung von Ebenendarstellungen 45
4.4.1 Umrechnung Parameterform � Normalenform 45
4.4.2 Umrechnung Normalenform � Koordinatenform 46
4.4.3 Umrechnung Parameterform � Koordinatenform 47
(direkter Weg)
4.4.4 Umrechnung Koordinatenform � Parameterform 48
4.4.5 Umrechnung Koordinatenform � Normalenform 49
4.5 Lage eines Punktes zu einer Ebene (P-E) 49
4.5.1 E in Parameterform 49
4.5.2 E in Koordinatenform 50
4.6 Lage einer Geraden zu einer Ebene (g-E) 51
4.6.1 E in Parameterform 51
4.6.2 E in Koordinatenform 52
4.7 Lage einer Geraden zu den Koordinatenebenen 53
4.7.1 Berechnung der Durchstoßpunkte (Spurpunkte) 53
4.7.2 Zeichnen von Geraden 54
4.8 Lage einer Ebene zu den Koordinatenachsen 55
4.8.1 Berechnung der Durchstoßpunkte 55
4.8.2 Zeichnen von Ebenen / Spurgeraden 56
4.9 Gegenseitige Lage zweier Ebenen (E-E) 57
4.9.1 E und E* in Parameterform 57
4.9.2 E und E* in Koordinatenform 58
4.9.3 E in Parameter- und E* in Koordinatenform 59
5. Schnittwinkel 61
5.1 Schnittwinkel zwischen 2 Geraden (g-g) 61
5.2 Schnittwinkel zwischen 2 Ebenen (E-E) 62
5.3 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene (g-E) 63
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6. Abstandsberechnungen 65
6.1 Die Hessesche Normalenform der Ebenengleichung 65
6.1.1 Darstellung 65
6.1.2 Umrechnung Koordinatenform � Hessesche 65
Normalenform
6.2 Abstand Punkt � Punkt (P-P) 66
6.3 Abstand Punkt � Ebene (P-E) 66
6.4 Abstand Gerade � Ebene (g-E) 67
6.4.1 Gerade parallel zur Ebene 67
6.4.2 Gerade schneidet Ebene 67
6.5 Abstand Ebene � Ebene (E-E) 68
6.6 Abstand Punkt � Gerade (P-g) 69
6.7 Abstand paralleler Geraden (g-g) 71
6.8 Abstand windschiefer Geraden (g-g) 72
7. Spiegelungen und senkrechte Projektion 74
7.1 Spiegelung Punkt an Punkt (P-P) 74
7.2 Spiegelung Punkt an Gerade (P-g) 74
7.3 Spiegelung Gerade an Gerade (g-g) 76
7.3.1 Parallele Geraden 76
7.3.2 Sich schneidende Geraden 77
7.4 Spiegelung Punkt an Ebene (P-E) 79
7.5 Spiegelung Gerade an Ebene (g-E) 80
7.5.1 Gerade parallel zur Ebene 80
7.5.2 Gerade schneidet Ebene 82
7.6 Spiegelung Ebene an Ebene (E-E) 83
7.6.1 Parallele Ebenen 84
7.6.2 Sich schneidende Ebenen 85
7.7 Senkrechte Projektion einer Geraden auf eine Ebene (g-E) 87