Die nachfolgende Aufgabe kannst Du durch Überlegung oder durch Rechnung lösen. Probiere beides!

Der Gletscher-Express fährt die Hälfte der Strecke auf ebener Strecke mit der Geschwindigkeit v1 = 100 km/h, die andere Hälfte der Strecke durch Bergland mit v2 = 50 km/h. Nach einigen Jahren wird die Strecke mit Hilfe von Tunnels ausgebaut, so dass der Zug mit der konstanten Geschwindigkeit v1 fahren kann. Um welchen Faktor ist im zweiten Fall die Durchschnittsgeschwindigkeit größer?

Auf jeden Fall ist es empfehlenswert, sich erst mal eine Skizze von der Situation zu machen. Das hast Du schon in der 6. Klasse so gelernt.

a) Rechnerische Lösung	Dazu fehlt scheinbar eine Angabe: die Länge der Strecke. Also kannst du sie nur allgemein ansetzen. Nennen wir mal - wie in der Zeichnung - die halbe Strecke s.
Dann ergeben sich für die beiden Streckenteile vor dem Ausbau die Zeiten t1 = s/v1 und t2 = s/v2, insgesamt also die Zeit t = t1 +t2 = s (1/v1 + 1/v2)	(Jeder vernünftige Mensch hätte - wie wir - s gleich ausgeklammert!)
Für die Durchschnittsgeschwindigkeit erhältst du also vD = 2.s/t oder vD = 2 / (1/v1 + 1/v2) = 2 / ( 1/100 + 1/50 ) km/h = 67 km/h	(die Gesamtstrecke ist ja 2.s) (die Strecke s kürzt sich heraus; weil die Geschwindigkeit im Nenner vom Nenner steht, muss der Bruch km/h   2mal gestürzt werden, es ergibt sich also wieder km/h).
Du erhältst also vD,v = 2/3 . 100 km/h für die Durchschnittsgeschwindigkeit vor dem Ausbau (deswegen das kleine v!) Nach dem Ausbau ergibt sich einfach vD,n = 100 km/h.  vD,n ist also 3/2 = 1,5 mal so groß wie vD,v .

Du siehst: Du hast die Länge der Strecke gar nicht gebraucht. Bei der allgemeinen Rechnung ist s einfach herausgefallen. Es kommt ja nur auf die Zeiten an!

b) Lösung durch Überlegung

Vor dem Ausbau braucht der Zug eine bestimmte Zeit für die erste Hälfte, sagen wir mal die Zeit T. Dann braucht der Zug für die zweite Hälfte doppelt solange, insgesamt also die Zeit 3T. Nach dem Ausbau braucht der Zug für beide Streckenhälften die gleiche Zeit, also insgesamt 2.T. Im ersten Fall braucht er also 3/2 mal so lang. Klar, dass im zweiten Fall bei der kürzeren Gesamtzeit die Durchschnittsgeschwindigkeit größer sein muss! Da die Gesamtstrecke in beiden Fällen die gleiche ist, ist die Durchschnittsgeschwindigkeit nach dem Ausbau 3/2 mal so groß wie vor dem Ausbau.

Ich hoffe, dir gefällt die zweite Lösung mittels einfacher Überlegung auch besser. Auch in der Physik sollte man den gesunden Menschenverstand nicht ablegen!

Du hast den zweiten Lösungsweg jetzt sicher auch verstanden. Du würdest Dir für ähnliche Situationen gleich noch mehr Erfahrung verschaffen, wenn Du selbst eine ähnliche Aufgabe erfinden und lösen würdest, die gegenüber der vorliegenden leicht abgeändert ist: andere Geschwindigkeiten,  Strecke nicht halbiert,  mehr Streckenabschnitte ... . So ähnlich geht der Lehrer bei der Entwicklung einer Schulaufgabe auch vor: Er geht von besprochenen Aufgaben aus und ändert sie ab, so dass er sieht, dass Du den Kern der Sache verstanden hast, ohne den Lösungsweg auswendig gelernt zu haben.