Aufgabe:

Beim Kugelstoßen soll eine Kugel der Masse m = 5 kg  und der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 10 m/s unter den Winkeln a = 30º, 45º, 60º gegenüber der Horizontalen geworfen werden. a) Entwickeln Sie aus den vektoriellen Bewegungsgesetzen Koordinatengleichungen für vx, vy, x und y, die als Ansätze zur Lösung des Problems dienen können. b) Bestimmen Sie die jeweilige Wurfweite xweit und die jeweilige Steighöhe h. c) Vergleichen sie die Wurfweiten und Steighöhen bei den 3 Winkeln und leiten Sie eine Regel ab, wie Sie beim Kugelstoßen die größte Wurfweite erzielen können! d) Leiten Sie die Bahnkurve y(x) her und zeigen Sie, dass auch mit ihr die Fragen von Aufgabe b) gelöst werden können. e) Natürlich können Sie die Fragen von Aufgabe b) auch ohne Kenntnisse von Vektoren durch Überlegung lösen. Führen Sie auch dies durch!

In dieser Aufgabe werden Sie lernen, wie Sie aus den einfachen vektoriellen Formeln der gleichmäßig beschleunigten Bewegung viele Fragen zum schiefen Wurf sehr einfach lösen können. Sie brauchen keine neuen Ansätze mehr aufstellen, weil alles in den vektoriellen Gleichungen enthalten ist.

Sie werden lernen, aus den vektoriellen Gleichungen Koordinatengleichungen herzuleiten, und sie zur Lösung physikalischer Fragestellungen zu nutzen, die auch für den Sport interesant sein können.

Sie werden auch lernen, die Bahngleichung y(x) aufzustellen und auch sie zur Lösung physikalischer Fragen zu nutzen.

Sie werden außerdem zwei trigonometrische Beziehungen aus der 10. Klasse wiederholen.

Wahl des Koordinatensystems: Die positive x-Richtung soll horizontal in Wurfrichtung gelegt werden, die positive y-Richtung nach oben. Die erste Wahl ist selbstverständlich. Diese Wahl der positiven y-Richtung hat den Vorteil, dass dann v0y positiv ist und die Wurfhöhe einer positiven y-Koordinate entspricht.  Nachteil ist, dass dann die Beschleunigung in y-Richtung -g sein muss. Der Koordinatenursprung soll am Startort liegen. Eine andere Wahl hätte andere Vor- und Nachteile gehabt. a)  Lösung mit Hilfe der vektoriellen Formulierung der Bewegungsgesetze Da eine konstante Kraft wirkt, die Gewichtskraft, ist der Bewegungsanteil der beschleunigten Bewegung der einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung, sodass die altbekannten Gesetzmäßigkeiten für Ortsvektor x und Geschwindigkeitsvektor v angewandt werden können (Vektoren sind hier immer fett gedruckt): (1)   v = v0 + a t (2)   x = x0 + v0.t + ½ a t2 Diskussion: Das einzige Besondere an dieser, wie an allen ähnlichen Aufgaben, ist es, dass man sich den Vektor der  Anfangsgeschwindigkeit v0 und den Vektor der Beschleunigung a genau überlegen muss. In Koordinatenschreibweise gilt:  (3a)  v0x = v0 . cos(a)  (3b) v0y  = v0 . sin(a) (Wegen der Wahl des Koordinatensystems sind beide Koordinaten von v0 positiv), oder für den Vektor v0 der Anfangsgeschwindigkeit (3):    æ  v0x  ö            æ     v0. cos(a)   ö             v0 = ç          ç    =    ç                        ç    è   v0y  ø          è     v0. sin(a)    ø    (Spaltenvektor!; die Klammern müssen Sie sich leider selbst ergänzen!) Für die Beschleunigung a gilt dagegen wie sonst häufig: (4a)  ax =    0 (4b)  ay = - g Die Gewichtskraft ist schließlich bei vernachlässigter Luftreibung die einzig wirkende Kraft. Sie wirkt in negative y- Richtung. In vektorieller Schreibweise (Spaltenvektor!) also: (4)   æ ax ö           æ  0  ö                    æ  0 ö a  = ç      ç =        ç       ç     =    -      ç      ç è ay ø              è -g  ø                     è g ø  wobei das - Zeichen sich wieder aus der Wahl des Koordinatensystems ergibt. Schreiben Sie jetzt beide Gleichungen (1) und (2) in Spaltenschreibweise an: æ  vx  ö              æ  v0. cos(a) ö          æ  0  ö v = ç       ç =          ç                     ç   -    ç       ç  .t è  vy ø                 è  v0. sin(a)  ø           è  g  ø  und ebenso:   æ x  ö      æ x0  ö             æ  v0x. ö                          æ  0  ö          x =  ç       ç =   ç       ç      +   ç          ç  t       +    ½     ç        ç   t2   è y  ø       è  y0  ø            è v0y. ø                          è -g  ø  Wegen der Wahl des Koordinatensystems gilt für die Anfangsbedingungen bzgl. der Ortskoordinaten:   x0 = 0 ,  y0 = 0 und es ergeben sich die vier Koordinatengleichungen (1a)     vx = v0x  = v0 . cos(a)  = konst. (1b)     vy = v0y - g.t    =   v0. sin(a)  - g.t und (2a)      x =  v0x . t (2b)      y = v0y . t - ½ g t2 Diskussion:   An (1a) und (2a) erkennt man wieder, dass in x-Richtung eine gleichförmige Bewegung vorliegt mit der Anfangsgeschwindigkeit v0x. An (1b) und (2b) erkennt man wieder, dass in y-Richtung eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vorliegt, genauer, ein senkrechter Wurf nach oben bzw. ein freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit v0y nach oben. In diesen 4 Gleichungen sind allen Informationen über den Wurf enthalten. Wir können auch alles aus ihnen herausholen. b) Maximale Wurfhöhe? Die ist zu einem Zeitpunkt t erreicht, wir nennen ihn tmax, wenn vy = 0 ist. Dann ist die Kugel bzgl. ihrer Bewegung in y-Richtung kurzzeitig zum Stillstand gekommen. Aus (1b):    vy = 0   =>   0 =  v0. sin(a) - g.t    =>   tmax = v0.sin(a) / g  =  .... Zu diesem Zeitpunkt entspricht die y-Koordinate gerade der Wurfhöhe h: Aus (2b)    y = h = v0.sin(a). tmax  - ½ .g . tmax 2 =  ( v0 sin(a) )2/ g - ½ .g ( v0 sin(a) /g)2 = ½ ( v0 sin(a) )2/g = ½ v0y2/g = ....       (hier folgt das Einsetzen von Zahlenwerten, was Ihnen ja längst geläufig ist) Maximale Wurfweite? Die ist zu einem Zeitpunkt t erreicht, wir nennen ihn tweit, wenn wiederum y = 0 gilt. Aus (2b): y = 0 = v0 sin(a) . t - ½ g t2 = t ( v0 sin(a) - ½ g t)   =>   t = 0 (entspricht dem Abwurfzeitpunkt) und tweit = 2 v0 sin(a) / g = .....           (hier folgt das Einsetzen von Zahlenwerten, was Ihnen ja längst geläufig ist) Diskussion: Man sieht, dass dies gerade gleich der doppelten Zeit bis zum Erreichen der maximalen Höhe ist: tweit = 2 . tmax . Dies gilt allerdings nur bei vernachlässigter Luftreibung. Das hätte man wegen der Symmetrie der Bahnkurve auch erwarten können. In diesem Fall hätte die Beziehung gleich zum Ansatz verwendet werden können. Aus (2a) ergibt sich dann die maximale Wurfweite:   xweit= v0 cos(a) .tweit =  2 v0 cos(a) v0 sin(a) / g =  v02 sin(2a) / g     (7) wobei die trigonometrische Beziehung verwendet wurde: 2 cos(a) sin(a) = sin(2a)   (6) Auftreffgeschwindigkeit? Sie setzt sich aus 2 Koordinaten zusammen, vx und vy. vx ist wegen (1a) unverändert gleich v0x = v0 cos(a). Für vy gilt mit (1b): vy = v0.sin(a) - g. tweit = v0.sin(a) - g. 2 v0 sin(a) / g = - v0 sin(a) = - v0y Diskussion: vy hat gegenüber dem Start also gerade das Vorzeichen gewechselt; das hätte man auch erwartet, weil sich die Bewegungsrichtung umgekehrt hat. Den Betrag der Auftreffgeschwindigkeit erhält man wieder mit Hilfe des Pythagoras: v2 = vx2 + vy2 =   v0x2+ ( -v0y )2 = ( v0 cos(a) )2 + ( v0 sin(a) ) 2 = v02 ( sin2(a) + cos2(a) ) = v02         , weil wegen des "trigonometrischen Pythagoras" sin2(a) + cos2(a) = 1 .                (5) ( sin2(a) bedeutet dabei das Quadrat von sin(a) und cos2(a) das Quadrat von cos(a), entsprechend ) . Diskussion: Die Endgeschwindigkeit ist also dem Betrag nach gleich der Anfangsgeschwindigkeit. Nur ihre Richtung hat sich geändert! c) Vergleich In Gleichung (7)  (  xweit=  v02 sin(2a) / g ) müssen jetzt die verschiedenen Winkel a eingesetzt werden. Maximale Wurfweite ergibt sich für a = 450 . Die Rechnung gilt allerdings nur, wenn keine Luftreibung zu berücksichtigen ist, und keine Zusatzeffekte wie eine Eigendrehung des geworfenen Körpers. Das wissen Sie ja: Die rotierende Frisbee-Scheibe erreicht eine viel größere Wurfweite als ein Stein. Man die Frage auch als ein mathematisches Optimierungs-Problem auffassen. Dabei wird Gleichung (7) als Funktionsgleichung für eine Funktion  xweit(a) aufgefasst. Ihr Maximum findet man durch Ableitung nach a. Führen Sie das spaßeshalber einmal durch! d) Bahnkurve ? Hier geht es darum, eine Gleichung y(x) herzuleiten. Sie muss natürlich in einem x-y-Koordinatensystem die bekannte Wurfparabel beschreiben. Man braucht also auf jeden Fall die Informationen über die x- und über die y-Koordinate, also die Gleichungen (2a) und (2b): (2a)      x =  v0x . t (2b)      y = v0y . t - ½ g t2 Beide Gleichungen hängen von der fließenden Zeit t ab, die hier nicht interessiert; je nach t ergeben sich andere Koordinaten x und y. Aus der einfacheren Gleichung wird t eliminiert und in die kompliziertere eingesetzt, also aus (2a):    t = x/v0x in (2b):    y = v0y . t - ½ g t2 =   v0y . x/v0x- ½ g (  x/v0x ) 2            => y =  x/v0x ( v0y  - ½ g x/v0x )        (2e) oder y =  x. (v0y/v0x- ½ g  x/v0x2 )       (2c) oder y =  x.v0y/v0x- ½ g/v0x2   x2         (2d) Diskussion: Besonders an (2d) erkennt man den quadratischen Zusammenhang, der sich eben durch die Wurfparabel beschreiben lässt. Er enthält einen in x linearen Anteil und einen quadratischen Anteil prop. zu x2. An (2c) erkennt man die beiden Nullstellen: x01= 0 und x02 = 2 v0xv0y/g = 2 v02 sin(a)cos(a)/g = v02 sin(2a)/g (wegen Gleichung (6)). x02 entspricht wieder der Wurfweite xweit . Sie ist maximal, wenn der sin(2a) maximal wird, also, wenn a = 45º wird. An (2d) erkennt man durch Ableiten und Nullsetzen der Ableitung auch die Lage des Maximums:                 dy/dx = y' = v0y/v0x-  g/v0x2.x  = 0  =>                 xmax = v0y.v0x/g = xweit /2 Für die Wurfhöhe ergibt sich dann mit (2e): h = ymax =  v0y/g ( v0y  - ½ g v0y./g ) = v0y/g ( v0y  - ½ v0y.) = ½ v0y2/g, wie früher. Auf die zwei verwendeten trigonometrischen Beziehungen aus der 10. Klasse wird besonders hingewiesen: (5) "trigonometrischer Pythagoras":        sin2(a) + cos2(a) = 1 .   (6) "Doppelwinkelsinus":                       2 cos(a) sin(a) = sin(2a) e) Lösung durch Überlegung Für die Wurfweite gibt es die einfache Regel: Ein geworfener Körper fliegt soweit wie er in der Wurfzeit kommt. In diesem Fall ist die Wurfzeit gleich der doppelten Fallzeit vom Maximum aus bzw. gleich der doppelten Steigzeit bis zum Maximum. Das letztere ist die Zeit tmax , innerhalb der die Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung, v0y durch die Fallbeschleunigung zu 0 gebracht wird. Also: vy(t) = v0y - g.t max = 0   => t max = v0y/g        , also gilt für die Wurfweite xweit = v0x . 2. tmax =  2 . v0x . v0y/g =  2 v0 cos(a) v0 sin(a) / g =  v02 sin(2a) / g             (wie oben).   Die Steighöhe ist ebenfalls durch tmax bestimmt: h = y(tmax ) = v0y.tmax - g/2 tmax 2  = v0y. v0y/g  - g/2 ( v0y/g )2  = v0y. v0y/2g       (wie oben). Sie hätten natürlich auch sagen können, dass die Steighöhe gleich der Fallstrecke vom Maximum aus ist, also h = 1/2 g tmax 2 =  v0y. v0y/2g . Das muss man aber - wie hier - richtig begründen: Im Allgemeinen gilt h = 1/2 g t2 ja nicht. Ich glaube, Sie ziehen auch hier die Lösung durch Überlegung vor!

Hinweise:

Der Ausgang von den Zeitintervallen (Dt)   führt immer unmittelbar zur Verwendung der richtigen Zeitdifferenzen in den jeweiligen Zeitabschnitten!

Ohne die Graphen haben Sie kaum eine Chance, die richtigen Ansätze zu finden!

Denken Sie sich ähnliche Vorgänge aus und üben Sie zunächst nur, die zugehörigen Graphen richtig zu zeichnen. Dann könnten Sie dazu Ansätze machen und die Rechnung durchzuführen. Sie könnten die Massen variieren, die Anfangsbedingungen, vielleicht aus einer Bewegung nach oben oder unten starten, die Massen umbenennen, oder von einer gleichförmigen Bewegung ausgehen und dann eine Zusatzmasse auflegen. Ihrer Fantasie sind keine Grenzen gesetzt!