Aufgabe:

Vor einem Autofahrer mit der Geschwindigkeit 20 m/s taucht plötzlich ein Hindernis auf. Nach der Schrecksekunde tS = 1,0 s (häufig auch Reaktionszeit tR genannt) beginnt der Autofahrer mit konstanter Bremsbeschleunigung a = - 6,0 m/s2 zu bremsen. Die Aufgabe soll mit dem Energieansatz gelöst werden. a) Wie groß ist der ganze theoretische Anhalteweg? b) Kommt der Autofahrer  noch rechtzeitig zum Stillstand, wenn das Hindernis beim Auftauchen noch 100 m entfernt war? c) Wie weit ist das Auto vom Hindernis entfernt, wenn es noch die Geschwindigkeit 5,0 m/s hat ? d) Mit welcher Geschwindigkeit prallt das Auto auf das Hindernis, wenn dieses nur 50 m entfernt ist?

Ihre Lösung im Heft könnte so aussehen.

Beschreibung der Bewegung im t-v-Diagramm; Wahl des Koordinatensystems: Der Aufgabensteller hat, ohne dass das in der Aufgabe erwähnt wird, vorher ein bestimmtes Koordinatensystem festgelegt - so, wie es auch natürlich ist. In ihm ist die positive Richtung (häufig Vorwärtsrichtung genannt) und die negative Richtung (häufig Rückwärtsrichtung genannt) festgelegt. Hier ist die positive Richtung die Bewegungsrichtung. Nur in Bezug darauf deutet das negative Vorzeichen der Beschleunigung auf die Bremsverzögerung hin.	Von der Zeit t = 0 s (Auftauchen des Hindernisses) bis zum Ende der Schrecksekunde (der Reaktionszeit) tR bewegt sich das Fahrzeug noch gleichförmig weiter. Erst von dieser Zeit tR an findet eine gleichmäßig beschleunigte Bewegungmit negativer Beschleunigung statt. Der Bremsvorgang ist im Idealfall zur Zeit tB beendet, wenn das Fahrzeug zum Stillstand gekommen ist. Der gesamte Anhalteweg setzt sich dann zusammen aus dem Reaktionsweg (bis zur Zeit tR) und dem eigentlichen Bremsweg (zwischen tR und tB). Hier liegen offenbar zwei Bereiche mit unterschiedlichen Bewegungen vor: Im Bereich I liegt eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v0 vor. Im Bereich II liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor. Das erste Intervall beginnt mit der Zeit 0; dort braucht man also nicht zwischen t und dt zu unterscheiden. Im Bereich II muss aber Dt immer auf den Intervallanfang bezogen werden, also mittels Dt = t - tR auf tR. Im Bereich II wird Dt maximal tB - tR. Der interessante Bereich ist sicher Bereich II.
a) gesamter theoretischer Anhalteweg	Zur Lösung gibt es verschiedene Verfahren: 1. Flächenverfahren: 2. Lösung mit den Bewegungsgesetzen (Siehe frühere Musteraufgabe) 3. Mit dem Energieansatz: Bis zum Zeitpunkt tR hat das Fahrzeug konstante kinetische Energie, gehörend zur Geschwindigkeit v0. Von da an verringert sich die kinetische Energie entsprechend der kleiner werdenden Geschwindigkeit v. Der Energieverlust wird mittels Reibungsarbeit in den Bremsen als Wärme an die Umgebung abgegeben. Bei einer konstanten Bremskraft F gilt für die verrichtete Arbeit: W = -F.Ds, wobei Ds der eigentliche Bremsweg ist. Ein negatives Vorzeichen ist eingefügt, weil F und Ds entgegengesetzt gerichtet sind. Damit lautet der Ansatz: Ekin(v0) - Ekin (v) = - F.Ds oder m/2 v02 - m/2 v2 = m.a.Ds, wobei für die Bremskraft das 2. NG verwendet wurde. Nach Division mit m/2 erhält man also: (1) v02 - v2 = - 2. a. Ds      ( > 0, da a negativ !) (Das ist die "Formel", die in manchen Schulbüchern "3. Bewegungsgleichung" genannt wird, meistens geschrieben in der Form v2 - v02 = 2. a. Ds , wobei aber a < 0 . ) Am Ende des Anhaltewegs ist v = 0 , also v02 = - a.Ds oder Ds = - v02/2a Mit den Daten der Angabe: Ds = - 400 m2/s2 / ( - 12 m/s2) = 33,3 m. Dazu kommt noch der Reaktionsweg. Antwortsatz: Der Anhalteweg beträgt 33,3 m + 20 m, also 53,3 m.
b) Kommt der Autofahrer  noch rechtzeitig zum Stillstand, wenn das Hindernis beim Auftauchen noch 100 m entfernt war?	Wenn der PKW 100 m zum Anhalten zur Verfügung hat und der Anhalteweg nur 53,3 m beträgt, kommt der PKW natürlich rechtzeitig zum Stillstand. Bei einer ähnlichen Frage müssen Sie also den zur Verfügung stehenden Weg (hier: 100 m) mit dem Anhalteweg vergleichen. Dieser muss evtl. zuerst berechnet werden.
c) Wie weit ist das Auto vom Hindernis entfernt, wenn es noch die Geschwindigkeit 5,0 m/s hat ?	Aus Gleichung (1) folgt für v = 5,0 m/s und v0 = 20 m/s: - 2.a.Ds = 400 m2/s2 - 25 m2/s2 = 375 m2/s2, also Ds = 375 m2/s2 / 12 m/s2 = 31,3 m Das ist der bis dahin zurückgelegte Bremsweg. Dazu kommt noch der Reaktionsweg. Antwortsatz: Wenn das Auto noch die Geschwindigkeit 5,0 m/s hat, hat es 51,3 m zurückgelegt. Es stehen noch 48,7 m bis zum Hindernis zur Verfügung.
e) Wann und mit welcher Geschwindigkeit prallt das Auto auf das Hindernis, wenn dieses nur 50 m entfernt ist?	Nach dem Reaktionsweg stehen dem PKW noch 30 m Bremsweg zur Verfügung. Aus Gleichung (1) folgt für die Geschwindigkeit v beim Aufprall: v2 - v02 = 2.a.Ds bzw. v2 = v02 + 2.a.Ds     = 400 m2 /s2 - 12 m/s2 . 30 m = 40 m2 /s2 bzw. v = +/- 6,3 m/s   (Das Auto fährt nur mit positiver Geschwindigkeit auf das Hindernis, nicht an ihm vorbei und wieder ein zweites Mal an ihm vorbei beim Rückweg). Antwortsatz: Wenn das Hindernis in einer Entfernung von 50 m auftaucht, prallt das Auto mit der Geschwindigkeit 6,3 m/s auf das Hindernis auf.

Hinweis:

Hier wird das von vielen Lehrern bevorzugte Lösungsverfahren geübt, bei denen Sie eine fertige Formel verwenden ("3. Bewegungsgleichung"). Sie ergibt sich hier, leicht merkbar, aus dem Energieansatz.

Vergleichen Sie mit dem ähnlichen Problem einer anderen Musteraufgabe, als noch keine Energie zur Verfügung stand.

Denken Sie sich ähnliche Vorgänge aus und üben Sie zunächst nur, die zugehörigen Graphen richtig zu zeichnen. Dann könnten Sie dazu Ansätze machen und die Rechnung durchzuführen.