Aufgabe:

Ein Stein der Masse m = 100 g wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 10 m/s senkrecht nach oben geworfen. a) Skizzieren Sie die t-a-, t-v- und t-x-Diagramme und erläutern Sie charakteristische Zeitpunkte dabei. b) Berechnen Sie die Steighöhe und die Steigzeit! c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der der Stein wieder an den Startpunkt zurückkehrt.

Ausführlicher, kommentierter Lösungsweg:

Wenn Sie darauf getrimmt sind, die Grundgleichungen für Zeitintervalle (Dt) zu verwenden, haben Sie es jetzt einfach: Es reicht hier aus, Zeitintervalle zu betrachten, die immer mit t = 0 s beginnen. Dann können Sie in den Grundgleichungen Dt immer durch t ersetzen:

Grundgleichungen	jeweils gültig in einem Zeitintervall mit einheitlicher Bewegung bzw. Beschleunigung; falls sich die Art der Bewegung oder die Beschleunigung ändert, muss ein neues Zeitintervall gewählt werden mit anderen Werten für a, v0 und Dt
a = konst
v = v0 + Dv	Dv  = a . Dt
x = x0 + Dx	Dx = v0 . Dt + ½ .a .Dt2

oder nach dem PUB (Prinzip der Unabhängigkeit der Bewegungen):

Ziel ist es hier, Lösungsverfahren einzusetzen, die weder viel "Wissen" voraussetzen, noch eine Formelsammlung. Statt in irgendwelche fertigen "Formeln" einzusetzen, bietet es sich in diesem Sinn an, immer von Grundformeln oder allgemeinen Lösungsverfahren, wie dem Flächenverfahren, auszugehen.

Lösen Sie Bewegungsaufgaben niemals ohne Graphen!

Aufgabe	Lösung / Kommentar
a) a) Skizzieren Sie die t-a-, t-v- und t-x-Diagramme und erläutern Sie charakteristische Zeitpunkte dabei. Zuvor muss das Koordinatensystem gewählt werden. Da die Bewegung anfangs nach oben erfolgt, ist es naheliegend, die Richtung nach oben als positive Richtung zu wählen, als Koordinatenursprung die Stelle, wo der Stein die werfende Hand verlässt.	Nach dem Verlassen der werfenden Hand wirkt auf den Stein ständig, während der ganzen Bewegung, die Gewichtskraft nach unten. Nach dem 2. NG wirkt damit auch ständig eine konstante negative Beschleunigung a nach unten. Anfangs bewegt sich der Körper nach oben, also in positive Richtung: die Anfangsgeschwindigkeit v0 ist positiv. Durch die entgegenwirkende Beschleunigung (a < 0; abwärts) wird der Körper immer langsamer: v sinkt und wird schließlich 0. Kurzzeitig kommt der Stein beim Umkehrpunkt zum Stillstand. Die dabei immer noch wirkende Gewichtskraft bewirkt, dass er dann wieder nach unten beschleunigt wird. Die umgekehrte Bewegungsrichtung deutet sich im negativen Vorzeichen der Geschwindigkeit an. Die Steigung des t-v-Graphen ist überall konstant und negativ, ebenso also die Beschleunigung. Während der ganzen Bewegung wird der Stein negativ beschleunigt. Man könnte also auch sagen, dass er während der ganzen Bewegung, beim Steigen wie beim Fallen bereits "fällt". Die negative Beschleunigung steht anfangs mit einem Langsamerwerden in Beziehung, nach dem Umkehrpunkt wieder mit einem Schnellerwerden. Der Körper startet am Ort 0, steigt dann zu immer größeren Ortskoordinaten bis zum Umkehrpunkt, von dem er wieder fällt. Die unterschiedlichen Bewegungsrichtungen haben unterschiedliches Vorzeichen der Geschwindigkeit zur Folge. Da eine quadratische Zeitabhängigkeit vorliegt ( a < 0), ist der t-x-Graph eine Parabel. Aus Symmetriegründen erwartet man dem Betrag nach gleiche Geschwindigkeiten bei Start und Rückkehr des Steins.
b) Berechnen Sie die Steighöhe und die Steigzeit!	Ausgang von den allgemeinen Bewegungsgesetzen bei gleichmäßig beschleunigten Bewegungen:  v =            v0          +      a . Dt  x = x0  +   v0 . Dt + ½ .a .Dt2 Da das Zeitintervall zur Zeit 0 beginnt, kann statt Dt einfach t geschrieben werden. Wegen der gewählten positiven Richtung gilt v0 = 10 m/s, a =  - g  = - 10 m/s2,  x0  = 0, also (1)   v =            v0          -      g . t (2)   x =            v0 . t -  ½ .g .t2 Die maximale Steighöhe ist der Punkt, an dem die Geschwindigkeit v 0 wird, also mit (1) (1')  0 =       v0          -      g . t bzw.       v0          =      g . t      oder      t S =   v0   /  g   =   10 m/s / 10 m/s2 = 1,0 s Mit (2) erhält man dann die Steighöhe: h =     v0 . tS -  ½ .g .tS2  =  v0 2 / g  -  ½ .g .v02 / g2 =  v02 / 2g = 100 m2 /s2 / 10 m/s2 = 10 m Antwortsatz: Der Stein steigt - bei fehlender Luftreibung - 1,0 s lang und erreicht dabei die Steighöhe 10 m.
c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der der Stein wieder an den Startpunkt zurückkehrt.	Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Aufgabe zu lösen. Eine Variante nutzt die Bedingung für die Rückkehr zum Startpunkt: x = 0 Mit (2) erhält man dann die quadratische Gleichung: (2")  0 =        v0 . t -  ½ .g .t2    =   ( v0 -  ½ .g .t ) t Ein Produkt ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist: Eine Lösung ist t1= 2 v0 /g, die 2. , t = 0, entspricht der Startzeit. t1 eingesetzt in (1) liefert die Geschwindigkeit bei der Rückkehr: (1")  v =            v0          -      g . t1 = v0          -      g ( 2 v0 /g ) = - v0, wie man es erwartet hatte. Eine weitere Variante benutzt die Tatsache, dass die Bewegung vom Umkehrpunkt aus symmetrisch zum Steigen erfolgt, also t1= 2 . tS. Der Rest geht wie oben. Antwortsatz: Bei der Rückkehr hat der Stein eine Geschwindigkeit mit umgekehrten Vorzeichen, aber gleichem Betrag wie beim Start.

Hinweise:

Der Ausgang von den Zeitintervallen (Dt)   führt immer unmittelbar zur Verwendung der richtigen Zeitdifferenzen in den jeweiligen Zeitabschnitten!

Ohne die Graphen haben Sie kaum eine Chance, die richtigen Ansätze zu finden!

Denken Sie sich ähnliche Vorgänge aus und üben Sie zunächst nur, die zugehörigen Graphen richtig zu zeichnen. Dann könnten Sie dazu Ansätze machen und die Rechnung durchzuführen. Sie könnten die Massen variieren, die Anfangsbedingungen, vielleicht aus einer Bewegung nach oben oder unten starten, die Massen umbenennen, oder von einer gleichförmigen Bewegung ausgehen und dann eine Zusatzmasse auflegen. Ihrer Fantasie sind keine Grenzen gesetzt!