Newton hatte die Mechanik als Theorie der Bewegung aufgestellt, ohne sie experimentell überprüfen zu können. Damals hatte man noch keine genügend genau gehenden Uhren, um etwa Beschleunigungen beim Freien Fall zu messen. Atwood, einem englischen Physiker des 18. Jahrhunderts, gelang eine experimentelle Bestätigung der Gesetze Newtons, indem er den Freien Fall mit einem Trick extrem verlangsamte.

Atwoodsche Fallmaschine:

Über eine leichtgängige Rolle hängt ein Faden, an dessen Enden zwei gleiche Massen M gefestigt sind. Beide erfahren die Gewichtskraft M.g. Die Rolle bewirkt ein Umlenken der Kraftrichtung. An jeder Masse greifen also zwei entgegengesetzte Gewichtskräfte gleicher Größe an: es herrscht an jeder Masse Kräftegleichgewicht. Wenn sich die beiden Massen bei straffem Faden bewegen, werden sie sich auch weiterhin mit konstanter Geschwindigkeit bewegen (Trägheitsgesetz). Legt man auf einen der beiden Körper eine Zusatzmasse m, erfährt diese eine Zusatzkraft m.g. Das Kräftegleichgewicht ist gestört: insgesamt wirkt jetzt auf das ganze Gebilde aus den 3 Massen eine Gesamtkraft m.g. Alle Teil-Körper bewegen sich mit Geschwindigkeiten gleichen Betrags. Deshalb genügt es die Bewegung eines Körpers zu betrachten, nehmen wir das Gebilde mit der Masse M+m.

Aufgabe:

Anfangs sollen alle Teilkörper ruhen. Es soll gelten: M = 200 g, m = 5,0 g. a) Berechnen Sie Ort und Geschwindigkeit 5,0 s nach dem Start. b) Dann wird die Zusatzmasse m durch einen geeigneten Mechanismus abgehoben. Wie bewegt sich dann die zugehörige Masse M weiter? Bewegungsgesetz in Abhängigkeit von der Zeit? c) Welcher Ort und welche Geschwindigkeit wird 7,0 s nach dem Start erreicht?

Ausführlicher, kommentierter Lösungsweg:

Wenn Sie darauf getrimmt sind, die Grundgleichungen für Zeitintervalle (Dt) zu verwenden, haben Sie es jetzt einfach: Es reicht hier aus, Zeitintervalle zu betrachten, die immer mit t = 0 s beginnen. Dann können Sie in den Grundgleichungen Dt immer durch t ersetzen:

Grundgleichungen	jeweils gültig in einem Zeitintervall mit einheitlicher Bewegung bzw. Beschleunigung; falls sich die Art der Bewegung oder die Beschleunigung ändert, muss ein neues Zeitintervall gewählt werden mit anderen Werten für a, v0 und Dt
a = konst
v = v0 + Dv	Dv  = a . Dt
x = x0 + Dx	Dx = v0 . Dt + ½ .a .Dt2

oder nach dem PUB (Prinzip der Unabhängigkeit der Bewegungen):

Ziel ist es hier, Lösungsverfahren einzusetzen, die weder viel "Wissen" voraussetzen, noch eine Formelsammlung. Statt in irgendwelche fertigen "Formeln" einzusetzen, bietet es sich in diesem Sinn an, immer von Grundformeln oder allgemeinen Lösungsverfahren, wie dem Flächenverfahren, auszugehen.

Lösen Sie Bewegungsaufgaben niemals ohne Graphen!

Aufgabe	Lösung / Kommentar
a) Vorbereitung: Beschreibung der Bewegung im t-x-Diagramm; Wahl des Koordinatensystems:   Das Koordinatensystem kann unterschiedlich festgelegt werden. Hier wird als Ursprung willkürlich der Startort der rechten Masse M gewählt. Die positive Richtung soll nach unten gehen. Sowohl Beschleunigung a als auch Geschwindigkeit v sind also bei dieser Wahl positiv. Die Körper starten am Ort x0 = 0 . Die Beschleunigung ist a ist unbekannt, aber positiv, da das Übergewicht m.g für eine Beschleunigung der rechten Körper nach unten sorgt.	Um zu Ansätzen zu kommen, sollten Sie zuerst das t-x- und das t-v-Diagramm für das Gebilde aus den Massen M und m  skizzieren:   Bis zu einer Zeit t1 findet eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Start aus der Ruhe (horizontale Tangente des t-x-Diagramms!) statt. Nach Abheben der Zusatzmasse bewegen sich beide Massen M gleichförmig mit konstanter Geschwindigkeit. Dies spiegelt sich auch im t-v-Diagramm wider. In beiden Fällen ist die positive Achse nach unten gerichtet. x wie v sind also stets positiv.
a) Berechnen Sie Ort und Geschwindigkeit 5,0 s nach dem Start.	Nach dem Konzept der Newtonschen Mechanik ("Kausalität", 2. NG als "Prophetie-Gesetz") lässt sich mit Hilfe der Kraft die Bewegung vorherberechnen, also a, v und x im Laufe der Zeit bestimmen. Zuerst muss die Beschleunigung ermittelt werden. Das geht am besten mit dem Dreierschema: Dreierschema (I) beschleunigende Kraft:     m.g (II) beschleunigte Masse:   2.M + m      (alle 3 Massen setzen sich in Bewegung!) (III) Beschleunigung aus dem 2. NG:     a = beschleunigende Kraft / beschleunigte Masse = m.g /(2.M+m) oder: a = g    m/(2.M + m) Weil der Bruch immer kleiner als 1 ist, ist die Beschleunigung a stets kleiner als die Fallbeschleunigung (bzw. der Ortsfaktor) g. Macht man das ganze Gebilde sehr träge (z.B. durch sehr große Massen M), dann ist die Beschleunigung a sehr gering. Vorhersage der Bewegung rechnerisch mit den Gesetzen der Bewegung: (1)   v =            v0          +      a . Dt (2)   x = x0  +   v0 . Dt + ½ .a .Dt2 bzw. hier mit den vorliegenden Anfangsbedingungen: (1')   v =  a . t (2')   x = ½ .a .t2 Mit a = 10 m/s2 . 5,0g /450g = 0,012  m/s2 (was also wirklich sehr viel kleiner als g ist!) ergibt sich für t1 = 5,0 s: v = 0,060 m/s  = 6,0 cm/s (beim Freien Fall hätte sich 50 m/s ergeben!) und x = 0,15 m Antwortsatz und Diskussion des Ergebnisses: Im ersten Abschnitt liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor. 5 s nach dem Start werden die Geschwindigkeit v = 6,0 cm/s und der Ort x = 0,15 m erreicht. Die Bewegung ist gegenüber einem Freien Fall außerordentlich verlangsamt. So konnte Atwood die Bewegungsgesetze mit Uhren geringer Genauigkeit bestätigen.
b) Dann wird die Zusatzmasse m durch einen geeigneten Mechanismus abgehoben. Wie bewegt sich dann die zugehörige Masse M weiter? Bewegungsgesetz in Abhängigkeit von der Zeit?	Da jetzt die Gesamtkraft 0 auf beide Körper wirkt, findet von jetzt ab eine gleichförmige Bewegung mit der zuletzt erreichten Geschwindigkeit statt. Es gilt also jetzt mit Dt = t - t1= t - 5,0 s: (3)   v =            v0          +      a . Dt (4)   x = x0  +   v0 . Dt + ½ .a .Dt2 Dabei ergeben sich die Anfangsbedingungen aus den Endwerten am Schluss des Abschnitts mit der gleichmäßig beschleunigten Bewegung: v0 = 6,0 cm/s x0 = 0,15 m Weil F = 0 N ist, ist auch die Beschleunigung a = 0 m/s2. Also gilt: (3') v = v0 = 0,060 m/s = konst. (4') x = x0+ v0. ( t - t1) = 0,15 m + 0,060 m/s (t - 5,0s) Antwortsatz und Diskussion des Ergebnisses. Es ergibt sich eine gleichförmige Bewegung mit den Bewegungsgesetzen (3') und (4'). Die Bewegungsgesetze sind in Einklang mit den Überlegungen an den t-x- und t-v-Graphen.
c) Welcher Ort und welche Geschwindigkeit wird 7,0 s nach dem Start erreicht?	Hier brauchen nur in die Bewegungsgesetze (3') und (4') Werte eingesetzt werden: (3'') v = v0 = 0,060 m/s (4'') x = 0,15 m + 0,060 m/s . 2,0 s = 0,27 m Antwortsatz und Diskussion: Die gleichförmige Bewegung ist immer noch recht langsam. Doch wird in den letzten 2 s fast die gleiche Strecke zurückgelegt wie in den ersten 5 s, nämlich 0,12  m zusätzlich. Insgesamt wird der Ort 0,27 m erreicht. Die Geschwindigkeit bleibt konstant bei 0,060 m/s.

Hinweise:

Der Ausgang von den Zeitintervallen (Dt)   führt immer unmittelbar zur Verwendung der richtigen Zeitdifferenzen in den jeweiligen Zeitabschnitten!

Ohne die Graphen haben Sie kaum eine Chance, die richtigen Ansätze zu finden!

Denken Sie sich ähnliche Vorgänge aus und üben Sie zunächst nur, die zugehörigen Graphen richtig zu zeichnen. Dann könnten Sie dazu Ansätze machen und die Rechnung durchzuführen. Sie könnten die Massen variieren, die Anfangsbedingungen, vielleicht aus einer Bewegung nach oben oder unten starten, die Massen umbenennen, oder von einer gleichförmigen Bewegung ausgehen und dann eine Zusatzmasse auflegen. Ihrer Fantasie sind keine Grenzen gesetzt!