Aufgabe:

An einem "sehr hohen" Baum hängt ein Apfel. Irgendwann löst er sich und fällt frei. a) Skizzieren Sie ein t-x- und ein t-v-Diagramm! b) Welche Strecken durchfällt der Apfel in der 1. , 2., 3. , 4.  und 5. Sekunde? c) Welche Geschwindigkeit wird am Ende jedes dieser Sekunden-Intervalle erreicht?

So könnte Ihre Lösung im Heft stehen.

Wenn Sie darauf getrimmt sind, die Grundgleichungen für Zeitintervalle (Dt) zu verwenden, haben Sie es jetzt einfach: Es reicht hier aus, Zeitintervalle zu betrachten, die immer mit t = 0 s beginnen. Dann können Sie in den Grundgleichungen Dt immer durch t ersetzen:

Grundgleichungen	jeweils gültig in einem Zeitintervall mit einheitlicher Bewegung bzw. Beschleunigung; falls sich die Art der Bewegung oder die Beschleunigung ändert, muss ein neues Zeitintervall gewählt werden mit anderen Werten für a, v0 und Dt
a = konst
v = v0 + Dv	Dv  = a . Dt
x = x0 + Dx	Dx = v0 . Dt + ½ .a .Dt2

oder nach dem PUB (Prinzip der Unabhängigkeit der Bewegungen):

Ziel ist es hier, Lösungsverfahren einzusetzen, die weder viel "Wissen" voraussetzen, noch eine Formelsammlung. Statt in irgendwelche fertigen "Formeln" einzusetzen, bietet es sich in diesem Sinn an, immer von Grundformeln oder allgemeinen Lösungsverfahren, wie dem Flächenverfahren, auszugehen.

Lösen Sie Bewegungsaufgaben niemals ohne Graphen!

Aufgabe	Lösung / Kommentar
a) Vorbereitung: Beschreibung der Bewegung im t-x-Diagramm; Wahl des Koordinatensystems:   Das Koordinatensystem kann unterschiedlich festgelegt werden. Hier wird als Ursprung willkürlich der Startort des Apfels gewählt. Die positive Richtung soll nach unten gehen. Sowohl Fallbeschleunigung a als auch Geschwindigkeit v sind also bei dieser Wahl positiv. Der Apfel startet am Ort x0 = 0 . Die Beschleunigung ist a = g.	Um zu Ansätzen zu kommen, sollten Sie zuerst das t-x- und das t-v-Diagramm für den Apfel  skizzieren:   Dem Diagramm entnimmt man sofort - und das ist ja auch physikalisch klar - , dass die einzelnen gesuchten Strecken Dx im Laufe der Zeit immer größer werden, weil die Geschwindigkeit zunimmt.
b) Welche Strecken durchfällt der Apfel in der 1. , 2., 3. , 4.  und 5. Sekunde? b)	Rechnerisch mit den Gesetzen der Bewegung: a) Für die jeweiligen x-Koordinaten gilt:              x(t) = ½ g . t2 Zu Beginn eines Intervalls (also zur Zeit t1) gilt dann: (1)   x(t1) = ½ g . t12 und am Ende (also zur Zeit t2): (2)   x(t2) = ½ g . t22 Beachten Sie den Anfangsort  x0 = 0. Die Strecke in diesem Intervall ist dann (3) Dx = x(t2) - x(t1) = ½ g . t22 - ½ g . t12            = ½ g . (  t22 - t12 ). Jetzt könnten Sie natürlich für jedes Intervall einzeln die Zeiten einsetzen. Mit weniger Schreibarbeit ist es verbunden, wenn Sie eine Tabelle durch die Differenzen  t22 - t12 ergänzen: t2 in s (horizontal) bzw. t1 in s (vertikal) 0 1 2 3 4 5 0 1 1 3 2 5 3 7 4 9 Durch direktes Einsetzen dieser Werte in die Formel (3) erhalten Sie die Werte der Tabelle: Sekunden-Intervall Fallstrecke im Intervall 1 5,0 m 2 15 m 3 25 m 4 35 m 5 45 m Antwortsatz und Diskussion des Ergebnisses: Die Fallstrecke in jedem Sekunden-Intervall nimmt gleichförmig zu. Grund ist, dass die Geschwindigkeit gleichmäßig zunimmt und damit auch die mittlere Geschwindigkeit in jedem der Sekunden-Intervalle.
c) Welche Geschwindigkeit wird am Ende jedes dieser Sekunden-Intervalle erreicht?	Allgemein gilt beim Freien Fall: (4) v(t) = g.t mit g = 10 m/s2 ergeben sich die Werte der Tabelle, wenn man für t in (4) nacheinander 1 s, 2 s, ... einsetzt. Zeit t in s Geschwindigkeit v in m/s 0 0 1 10 2 20 3 30 4 40 5 50 Antwortsatz und Diskussion des Ergebnisses. Es ergeben sich die Geschwindigkeiten der Tabelle. In gleichen Zeitintervallen muss die Geschwindigkeit in gleichem Maße zunehmen, da die Beschleunigung a = 10 m/s2 konstant ist.

Hinweise:

1. An den erreichten Geschwindigkeiten kann man schon vermuten, dass das ein unrealistisch hoher Apfelbaum sein muss! Sie sehen das auch, wenn Sie die gesamte Fallstrecke ausrechnen:

Am Schluss einer Rechnung sollten Sie immer noch einmal kritisch überlegen, ob Ihr Ergebnis vernünftig ist, oder ob der Aufgabensteller eine unvernünftige Aufgabe gestellt hat!

2. Der Ausgang von den Zeitintervallen (Dt)   führt immer unmittelbar zur Verwendung der richtigen Zeitdifferenzen, auch, wenn - wie in diesem Fall die Zeitintervalle immer zur Zeit 0 beginnen!

3. Es ist auch möglich, sich bei dieser Aufgabe von Zeitintervall zu Zeitintervall zu "hangeln". Dann müsste man für jedes Sekunden-Intervall den Anfangsort und die Anfangsgeschwindigkeit durch die Enddaten des vorausgehenden Intervalls errechnen. Der hier vorgeschlagene Weg ist da viel einfacher!

Ohne die Graphen haben Sie kaum eine Chance, die richtigen Ansätze zu finden!

Denken Sie sich ähnliche Vorgänge aus und üben Sie zunächst nur, die zugehörigen Graphen richtig zu zeichnen. Dann könnten Sie dazu Ansätze machen und die Rechnung durchzuführen.