Aufgabe:

An zwei überander befindlichen Ästen hängt je ein Apfel. Der untere Ast befindet sich in der Höhe h1 = h = 5 m, der obere in der Höhe h2 = 10 m = 2.h. Zuerst fällt der oberste Apfel. Wenn er auf der Höhe des unteren Apfels ist, beginnt dieser auch zu fallen. a) Skizzieren Sie ein t-x- und ein t-v-Diagramm! b) Zu welchen Zeiten treffen die Äpfel auf den Boden auf? c) Der erste Apfel startet im Vergleich zum 2. aus der doppelten Höhe. Hat er auch die doppelte Geschwindigkeit beim Aufprall ?

Hier wird als Ursprung willkürlich der Boden gewählt. Die positive Richtung soll nach oben gehen. Sowohl Fallbeschleunigung als auch Geschwindigkeit sind also bei dieser Wahl negativ. Der 1. Apfel startet am Ort x1,0 = 2.h, der 2. am Ort x2,0 = h. Die Beschleunigung ist a = -g. t-v- und das t-x-Diagramm für beide Äpfel (im gleichen Koordinatensystem) Beide Äpfel brauchen - nach Start aus der Ruhe - für die Strecke h die gleiche Zeit t1. Der zweite Apfel kommt also zur Zeit T2 = 2. t1 auf dem Boden auf. Da sich beide Äpfel entgegengesetzt zur gewählten positiven Richtung bewegen, sind beide Geschwindigkeiten negativ. Beide erfahren die gleiche negative Fallbeschleunigung; im t-v-Diagramm haben ihre Graphen also gleiche negative Steigung. Die farbig unterlegte Fläche entspricht der Fallstrecke (für den 1. Apfel: gelb, 2.h / für den 2. Apfel: grün / h). b) Rechnerisch mit den Gesetzen der Bewegung: a) Für die jeweiligen x-Koordinaten gilt: Apfel 1: (1) x(t) = 2.h - ½ g . t2 Apfel 2: (2) x(t) = h - ½ g Dt2 Anfangsorte :  x1,0 = 2.h und x2,0 = h. Aus den beiden Gleichungen erhält man den Auftreffzeitpunkt t ( = T1 ) des 1. Apfels bzw. Dt für den 2. Apfel, weil beim Auftreffen jeweils x = 0: x(t)  = 0 => t = sqr( 4.h/ g ) =  1,4 s = T1 Dt = sqr ( 2h/g) = 1,0 s Es fehlt noch die Startzeit des 2. Apfels: (3) x (t1) = 2.h - ½ g . t12 Weil der Apfel 2 beim Passieren des Apfels 1 am Ort h startet, gilt x(t1) = h. Also: (3') h = 2.h - ½ g . t12 Es ergibt sich t1 = sqr ( 2h/g) = 1,0 s Daraus erhält man für die Auftreffzeit T2 = 2. t1 = 2. sqr (2h/g) = 2,0 s. b) Dem t-v-Diagramm mit dem Flächenverfahren kann man entnehmen, dass T1 < 2.t1 sein muss, damit die gelbe Dreiecksfläche (h) gleich der gelben Trapezfläche incl. dem kleinen grünen Dreieck ist! Antwortsatz: Der 1. Apfel durchfällt die erste Hälfte der Strecke (also h) in der gleichen Zeit, wie der 2. Apfel seine gesamte Fallstrecke h durchfällt. Der 2. Apfel trifft also nach der doppelten Zeit seit dem Start des 1. Apfels auf. Zur Zeit t1 = 1,0 s startet der 2. Apfel, zur Zeit T1 = 1,4 s kommt der 1. Apfel auf dem Boden auf, zur Zeit T2 = 2,0 s der 2. Apfel. c) Nach dem t-v-Diagramm natürlich nicht: Zwar hat der 1. Apfel beim Passieren des 2. Apfels die gleiche Geschwindigkeit wie der 2. später beim Aufprall . Für die zweite Hälfte der Strecke braucht aber der 1. Apfel weniger Zeit, da er hier stets schneller ist. Die Zeit T1 ist also nicht gleich der doppelten Zeit t1 . Der 1. Apfel hatte also bis zum Aufprall noch nicht genügend Zeit, um auf die doppelte Geschwindigkeit beschleunigt zu werden. Hinweis: Mit dem Energieerhaltungssatz würden genauere Ergebnisse folgern: Der 1. Apfel müsste schon die 4-fache Starthöhe und damit die 4-fache Lageenergie haben, um beim Aufprall auch die 4-fache kinetische Energie, also die doppelte Geschwindigkeit zu haben.