Aufgabe:

Vor einem Autofahrer mit der Geschwindigkeit 20 m/s taucht plötzlich ein Hindernis auf. Nach der Schrecksekunde tS = 1,0 s (häufig auch Reaktionszeit tR genannt) beginnt der Autofahrer mit konstanter Bremsbeschleunigung a = - 6,0 m/s2 zu bremsen. a) Zeichnen Sie ein t-v-Diagramm und skizzieren Sie ein t-x-Diagramm. b) Stellen Sie für die Bereiche I und II die jeweiligen Gesetzmäßigkeiten für Ort x und Geschwindigkeit v  (in Abhängigkeit von der Zeit) auf. c) Berechne für die Zeit t = 0,5 s:     v(0,5 s) und x(0,5 s)! d) Berechne für die Zeit t = 3 s:        v(3 s) und x(3 s)!

Hilfreich ist es dabei besonders, wenn Sie darauf getrimmt sind, die Grundgleichungen für Zeitintervalle (Dt) zu verwenden. Alle bisher behandelten Fälle sind danach in den Grundgleichungen enthalten:

Grundgleichungen	jeweils gültig in einem Zeitintervall mit einheitlicher Bewegung bzw. Beschleunigung; falls sich die Art der Bewegung oder die Beschleunigung ändert, muss ein neues Zeitintervall gewählt werden mit anderen Werten für a, v0 und Dt
a = konst
v = v0 + Dv	Dv  = a . Dt
x = x0 + Dx	Dx = v0 . Dt + ½ .a .Dt2

oder nach dem PUB (Prinzip der Unabhängigkeit der Bewegungen):

Ziel ist es hier, Lösungsverfahren einzusetzen, die weder viel "Wissen" voraussetzen, noch eine Formelsammlung. Statt in irgendwelche fertigen "Formeln" einzusetzen, bietet es sich in diesem Sinn an, immer von Grundformeln oder allgemeinen Lösungsverfahren, wie dem Flächenverfahren, auszugehen.

Lösen Sie Bewegungsaufgaben niemals ohne Graphen!

Beschreibung der Bewegung im t-v-Diagramm; Wahl des Koordinatensystems: Der Aufgabensteller hat, ohne dass das in der Aufgabe erwähnt wird, vorher ein bestimmtes Koordinatensystem festgelegt - so, wie es auch natürlich ist. In ihm ist die positive Richtung (häufig Vorwärtsrichtung genannt) und die negative Richtung (häufig Rückwärtsrichtung genannt) festgelegt. Hier ist die positive Richtung die Bewegungsrichtung. Nur in Bezug darauf deutet das negative Vorzeichen der Beschleunigung auf die Bremsverzögerung hin.	Von der Zeit t = 0 s (Auftauchen des Hindernisses) bis zum Ende der Schrecksekunde (der Reaktionszeit) tR bewegt sich das Fahrzeug noch gleichförmig weiter. Erst von dieser Zeit tR an findet eine gleichmäßig beschleunigte Bewegungmit negativer Beschleunigung statt. Der Bremsvorgang ist im Idealfall zur Zeit tB beendet, wenn das Fahrzeug zum Stillstand gekommen ist. Der gesamte Anhalteweg setzt sich dann zusammen aus dem Reaktionsweg (bis zur Zeit tR) und dem eigentlichen Bremsweg (zwischen tR und tB). Hier liegen offenbar zwei Bereiche mit unterschiedlichen Bewegungen vor: Im Bereich I liegt eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v0 vor. Im Bereich II liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor. Das erste Intervall beginnt mit der Zeit 0; dort braucht man also nicht zwischen t und dt zu unterscheiden. Im Bereich II muss aber Dt immer auf den Intervallanfang bezogen werden, also mittels Dt = t - tR auf tR. Im Bereich II wird Dt maximal tB - tR. Der interessante Bereich ist sicher Bereich II.
a) t-v-Diagramm und t-x-Diagramm	t-v-Diagramm: S. oben t-x-Diagramm: Hängt vom Koordinatensystem ab, speziell von den Anfangsbedingungen. Wenn festgelegt ist, dass das Hindernis zur Zeit 0 auftaucht, und dass sich dabei das Auto am Ort 0 befinden soll, gilt folgendes t-x-Diagramm: Aus dem Flächenverfahren ist zu entnehmen, dass nach der Schrecksekunde in einer gleichförmigen Bewegung der Ort 20 m erreicht ist. Im Bereich I muss die Steigung des t-x-Diagramms konstant gleich v0 sein. An das Geradenstück schließt sich im t-x-Diagramm eine Parabel an. Sie hat ihren Scheitel zur Zeit tB erreicht. Dort ist nämlich sowohl die Steigung des t-x-Diagramms (horizontale Tangente) als auch die Geschwindigkeit 0. Aus dem Flächenverfahren entnimmt man, dass im Bereich II zusätzlich noch eine Ortsänderung von 33,3 m erfolgt.
b) Stellen Sie für die Bereiche I und II die jeweiligen Gesetzmäßigkeiten für Ort x und Geschwindigkeit v  (in Abhängigkeit von der Zeit) auf.	Bereich I (gleichförmige Bewegung): Das Zeitintervall beginnt mit der Zeit t = 0, also kann statt Dt immer t geschrieben werden: (1)     v = v0 = konstant         für 0 <= t <= tR (2)     x = 0 + v0 .t                  für 0 <= t <= tR Bereich II (gleichmäßig beschleunigte Bewegung): Das Zeitintervall beginnt zur Zeit tR. Alle Zeitintervalle müssen auf diesen Zeitpunkt bezogen werden: Dt = t - tR. (1') v(t) = v0 + a . Dt = v0 + a .(t - tR)    für tR <=  t <=  tB (2') x(t)  = 20 m + v0. Dt + ½ . a . Dt2 =      = 20 m + 20 m/s.( t - tR) + ½ . a . (t- tR)2 für tR <=  t <=  tB Für konkrete Rechnungen müssten a und tR durch die jeweiligen Werte ersetzt werden. Man erkennt in (2') die quadratische Gesetzmäßigkeit, die sich als Parabel im t-x-Diagramm niederschlägt.
c) Berechne für die Zeit t = 0,5 s:  v(0,5 s) und x(0,5 s)!	t = 0,5 s liegt im Bereich I. Dort gilt: (1) v(0,5s) = v0 = 20 m/s (2) x(0,5s)  = v0. t = 20 m/s . 0,5 s = 10 m Antwortsatz: Zur Zeit t = 0,5 s fährt das Auto mit v = 20 m/s durch den Ort 10 m.
d) Berechne für die Zeit t = 3 ,0 s:       v(3 s) und x(3 s)!	t = 3,0 s liegt im Bereich II. Dort gilt: (1') v  (t) = v0 + a . Dt = v0 + a .(t - tR)    für tR <=  t <=  tB (2') x = 20 m + v0. Dt + ½ . a . Dt2 =              20 m + 20 m/s . ( t - tR) + ½ . a . (t- tR)2    für tR <=  t <=  tB also: (1') v(3,0s) = v0 + (-6,0 m/s2).(3,0s - 1,0s) = 8 m/s (2') x(3,0 s)  =   20 m + 20 m/s . 2,0s  + ½ .  (- 6m/s2) . 4,0 s2 = 48 m Antwortsatz: Zur Zeit t = 3,0 s fährt das Auto mit v = 8,0 m/s durch den Ort 48 m.

Hinweise:

Der Ausgang von den Zeitintervallen (Dt)   führt unmittelbar zur Verwendung der richtigen Zeitdifferenzen!

Ohne die Graphen haben Sie kaum eine Chance, die richtigen Ansätze zu finden!

Denken Sie sich ähnliche Vorgänge aus und üben Sie zunächst nur, die zugehörigen Graphen richtig zu zeichnen. Dann könnten Sie dazu Ansätze machen und die Rechnung durchzuführen. Zeichnen Sie entsprechende Graphen, aber mit den konkreten Werten, die Sie für Ihre Aufgabe gewählt haben!