Hier ist die positive Richtung die Bewegungsrichtung. Nur in Bezug darauf deutet das negative Vorzeichen der Beschleunigung auf die Bremsverzögerung hin.
Von der Zeit t = 0 s (Auftauchen des Hindernisses) bis zum Ende der Schrecksekunde (der Reaktionszeit) tR bewegt sich das Fahrzeug noch gleichförmig weiter.
Erst von dieser Zeit tR an findet eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit negativer Beschleunigung statt.
Der Bremsvorgang ist im Idealfall zur Zeit tB beendet, wenn das Fahrzeug zum Stillstand gekommen ist.
Der gesamte Anhalteweg setzt sich dann zusammen aus dem Reaktionsweg (bis zur Zeit tR) und dem eigentlichen Bremsweg (zwischen tR und tB).
Hier liegen offenbar zwei Bereiche mit unterschiedlichen Bewegungen vor:
Im Bereich I liegt eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v0 vor.
Im Bereich II liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor.
Das erste Intervall beginnt mit der Zeit 0; dort braucht man also nicht zwischen t und Dt zu unterscheiden. Im Bereich II muss aber Dt immer auf den Intervallanfang bezogen werden, also mittels Dt = t - tR auf tR. Im Bereich II wird Dt maximal tB - tR.
Der interessante Bereich ist sicher Bereich II.
a) Zur Lösung gibt es verschiedene Verfahren:
1. Flächenverfahren:
Der Anhalteweg entspricht der Fläche unter dem t-v-Graphen:
(1) s = v0.tR + ½. v0.Dt
Dt bis zum Stillstand ergibt sich aus der Bedingung: a = Dv/Dt =>
(2) Dt = Dv/a.
Dv ist in diesem Fall negativ, nämlich - v0, also Dt = -v0/a. Natürlich ist Dt>0, da ja auch a negativ ist. Mit dem davorstehenden Minuszeichen ergibt sich ein positiver Wert.
Insgesamt erhalten Sie mit (1):
s = v0.tR - ½v02/a
Wieder ist der zweite Term wegen des davorstehenden Minuszeichens positiv. Mit den Zahlenwerten der Aufgabe erhält man:
s = 20 m/s . 1,0 s - ½ . (20 m/s)2 .(-6,0 m/s2) = 20 + 33,3 m = 53,3 m.
2. Lösung mit den Bewegungsgesetzen:
Der Koordinatenursprung wird zweckmäßig in die Position gelegt, an der sich das Auto bei Beginn des Bremsvorgangs befand. Es interessiert also nur der Bereich II: Hier gilt:
(1) v = v0 + a . Dt
(2) x = x0 + v0. Dt + ½ . a . Dt2
Bei dieser Wahl des Koordinatensystems ist x0 = 0; für den gesamten Anhalteweg ist allerdings zusätzlich der Reaktionsweg zu berücksichtigen!
Dt ist das Zeitintervall seit Beginn des Bremsens.
Stillstand tritt ein, wenn v = 0, also mit (1):
v = 0 = v0 + a . Dt => Dt = - v0/a (>0, da a < 0 !).
Eingesetzt in (2) ergibt sich:
x = 0 + v0.(-v0/a) + ½ . a. (-v0/a)2 = - v02/a + ½ . a. (-v0/a)2 = - ½ . a. (-v0/a)2
Mit den Werten der Aufgabe erhält man also:
x = 0,5 . 6,0 m/s2. ( - 20 m/s / 6,0 m/s2)2 = 33,3 m.
Zusammen mit dem Reaktionsweg ergibt sich also ein Anhalteweg s = 53,3 m.
Wenn Sie als Koordinatenursprung die Position des Fahrzeugs beim Auftauchen des Hindernisses gewählt hätten, wäre es fast genauso gegangen. Zu Beginn des Bereichs II wäre dann x0 = 20 m, eben der bis dahin zurückgelegte Reaktionweg.
Für Dt ergibt sich mit den gleichen Daten:
Dt = - v0/a = - 20 m/s / (-6,0 m/s2) = 3,3 s.
Hinzukommt die Reaktionszeit tR = 1,0 s .
Antwortsatz:
Das Auto kommt zur Zeit tB = 4,3 s zum Stillstand. Der Anhalteweg beträgt 53,3 m.
Hinweis:
Ein Schlaumeier setzt für den Anhalteweg an:
s = x0 + ½ . a . Dt2
und rechnet:
s = 20 m + 0,5 . 6,0 m/s2 . (3,3s)2 = 20 m + 32,7 m = 52,7 m.
Bis auf Rundungsfehler erhält er also angeblich das gleiche Ergebnis und wundert sich, dass der Lehrer sehr unzufrieden ist.
Leider hat er gleich zwei Fehler gemacht, deren Wirkungen sich gegenseitig aufheben. Welche?
b) Wenn der PKW 100 m zum Anhalten zur Verfügung hat und der Anhalteweg nur 53,3 m beträgt, kommt der PKW natürlich rechtzeitig zum Stillstand.
Bei einer ähnlichen Frage müssen Sie also den zur Verfügung stehenden Weg (hier: 100 m) mit dem Anhalteweg vergleichen. Dieser muss evtl. zuerst berechnet werden.
c) Diese Aufgabe
kann wieder mit dem Flächenverfahren oder den allgemeinen Bewegungsgesetzen
gelöst werden:
Dt beträgt hier (im Bereich II) also 3,0 s.
1. Flächenverfahren:
Es gilt die gelb unterlegte Fläche. Bei der Berechnung der Trapezfläche (große Rechtecksfläche - Dreiecksfläche) ist Dv zu berücksichtigen. Aus a = Dv/Dt ergibt sich Dv = a.Dt = - 6,0 m/s2 . 3,0 s = - 18 m/s (negativ, weil die Geschwindigkeit kleiner wird). Die Höhe des zu subtrahierenden Dreiecks ist also 18 m/s. Die verbleibende Geschwindigkeit nach 4,0 s ist dann v = v0 + Dv = 20 m/s - 18 m/s = 2,0 m/s.
Aus der Fläche also:
s = 20 m/s . 4,0 s - ½ . 3,0 s . 18 m/s = 80 m - 27 m = 53 m.
Antwortsatz:
Zur Zeit 4,0 s ist das Auto noch 0,30 m vom Stillstand und 47 m vom Hindernis entfernt und hat dort noch die Geschwindigkeit 2,0 m/s.
2. Mit allgemeinen Ansätzen:
Nach (2) gilt:
s = x0 + v0 . Dt + ½ . a . Dt2 = 20 m + 20 m/s . 3,0s + ½ . ( - 6,0 m/s2) . (3,0s )2 = 80 m - 27 m = 53 m.
Sie erhalten das gleiche Ergebnis.
d) Wenn v = 5,0 m/s ist, dann muss Dv = - 15 m/s sein. Mit a = Dv/Dt erhält man Dt = Dv/a = - 15 m/s / ( - 6,0 m/s2) = 2,5 s.
Dazu kommt noch die Reaktionszeit.
Antwortsatz:
Das Auto hat zur Zeit 3,5 s noch die Geschwindigkeit 5,0 m/s.
e) Dies ist der schwierigste Aufgabenteil. Er lässt sich auch mit dem Flächenverfahren lösen. Einfacher geht es aber mit allgemeinen Ansätzen. In jedem Fall führt die Lösung über eine quadratische Gleichung.
Es gilt:
(1) v = v0 + a . Dt
(2) x = x0 + v0. Dt + ½ . a . Dt2
Für den bis zum Aufprall erreichten Ort x gilt nach Angabe: x = 50 m. Mit x0 = 20 m (Reaktionsweg) ergibt sich aus (2) die quadratische Gleichung für Dt:
(2'): ½ . a . Dt2 + v0. Dt - 30 m = 0
Die Lösungsformel liefert:
Dt½ = 1/a ( - v0 +/- sqr( v02+ 4 . ½ . a . 30 m ) ).
(sqr = Ö)
Mit den gegebenen Werten:
Dt½ = ( - 20 m/s +/- sqr( (20 m/s)2 + 4 . ½ . (-6,0 m/s2) .30 m) )/ ( - 6,0 m/s2) =
( 20 m/s -/+ sqr(( 400 - 360 ) m/s)/ ( 6,0 m/s2) = ( 20 -/+ 6,32)/ (6,0 s) =
2,28 s bzw. 4,39 s
Merkwürdigerweise ergeben sich hier zwei Lösungen?!
Die zweite Begegnungszeit entspricht einer hypothetischen 2. Begegnungszeit mit dem Hindernis, wenn das Auto am Hindernis vorbeigefahren ist, zum Stillstand kam und dann mit derselben negativen Beschleunigung wieder rückwärts am Hindernis vorbeifährt.
Aus (1) erhält man die Geschwindigkeit:
(1) v = v0 + a . Dt
= 20 m/s - 6,0 m/s2 . 2,28 s = 6,3 m/s
Antwortsatz:
Wenn das Hindernis in einer Entfernung von 50 m auftaucht, prallt das Auto zur Zeit 3,3 s ( von 3,28 s) mit der Geschwindigkeit 6,3 m/s auf das Hindernis auf. Der Anthalteweg ist dann um 3,3 m zu kurz!