Aufgabe:

Ein Motorroller fährt mit konstant 54 km/h =  15 m/s an einem mit konstant 36 km/h = 10 m/s fahrenden PKW vorbei. 5,0 s später beginnt der PKW mit 2,0 m/s2 gleichmäßig zu beschleunigen, während der Motorroller seine Geschwindigkeit konstant beibehält. Hinweis: Wähle t = 0 beim Beginn der Beschleunigung! Die Längen von PKW und Motorroller sollen vernachlässigt werden. a) Skizziere die Vorgänge in ein t-x-Diagramm und ein t-v-Diagramm! Dazu musst Du Dir die Wahl des Koordinatenursprungs genau überlegen! b) Berechne für den PKW die Werte x(0)m x(5 s) und x(10 s)! c) Zeichne die beiden t-x-Diagramme für Motorroller und PKW (unter Verwendung von Teilaufgabe b) in dasselbe Koordinatensystem ein. Lies daraus ab, zu welcher Zeit der PKW den Roller wieder eingeholt hat! d) Bestimme rechnerisch, zu welcher Zeit der PKW den Roller wieder eingeholt hat!

Hilfreich ist es dabei besonders, wenn Du darauf getrimmt bist, die Grundgleichungen für Zeitintervalle (Dt) zu verwenden. Alle bisher behandelten Fälle sind danach in den beiden Grundgleichungen enthalten:

oder nach dem PUB (Prinzip der Unabhängigkeit der Bewegungen):

a) Aufstellen eines Ansatzes anhand eines Graphen	Will man eine solche Aufgabe nicht als reine Algebra-Aufgabe aufziehen, muss man sich die physikalischen Ansätze anhand eines Graphen überlegen: Die Ansätze ergeben sich daraus ganz automatisch und sicher
Dazu ist es notwendig, zuerst ein Koordinatensystem zu wählen:	Die Richtung, in die sich beide Fahrzeuge bewegen, soll die positive Richtung sein (x-Koordinaten sind positiv und wachsen in diese Richtung). Der Koordinatenursprung ist zum Teil durch die Angabe "Beginn der Beschleunigung zur Zeit 0" festgelegt. Offen ist noch, wo sich die Fahrzeuge zu diesem Zeitpunkt befinden sollen. Offenbar begegneten sich beide Fahrzeuge 5 s früher, also bei t = - 5 s. Der Begegnungsort bietet sich als der Ort 0 an. Eine solche oder ähnliche Wahl ist immer notwendig, aber vielfach auch selbstverständlich.
	Das ist vielleicht der schwierigste Teil der Aufgabe: richtige Graphen zu skizzieren. Nur wenn sie die betreffende Bewegung richtig wiedergeben, hast Du eine Chance zur Lösung: Der Graph des Rollers im t-v-Diagramm ist eine Parallele zur t-Achse bei der Geschwindigkeit vR,0 = 15 m/s. Bis zur Zeit t = 0 bewegt sich auch  der PKW  mit konstanter Geschwindigkeit vP,0 =  10 m/s. Bis dahin ist also auch sein Graph eine Parallele zur Zeitachse. Von da an beschleunigt der PKW gleichmäßig: von da an muss seine Geschwindigkeit linear wachsen mit der konstanten Steigung a. Im t-x-Diagramm muss der Graph des Rollers eine Gerade durch den Punkt (t = - 5s, x0  = 0 ) sein. Ihre Steigung ist gerade die konstante Geschwindigkeit vR,0. Bis zur Zeit t = 0 bewegt sich der PKW ausgehend vom Ort x0 = 0 mit konstanter Geschwindigkeit, also konstanter Steigung vP,0 =  10 m/s. Der Graph ist also im t-x-Diagramm ein Geradenstück bis zu t = 0. Von da an beschleunigt der PKW. Von jetzt ab ist also der t-x-Graph ein Stück einer Parabel . Der Scheitel ist unbekannt. Da die Geschwindigkeit von vP,0 =  10 m/s ausgehend wächst, krümmt sich der Graph von der Steigung vP,0 =  10 m/s ausgehend nach oben. Dass der PKW bei t = 0 bereits eine Anfangsgeschwindigkeit hat, muss auch bei den Ansätzen berücksichtigt werden.
Ansätze zur Aufgabe b) Für den PKW liest Du aus der Skizze ab: ( 1)  xP =   xP,0  + vP,0 .t + a/2 t2 xP,0 =  10m/s.5s = 50 m ist der Ort, den der PKW zur Zeit 0 erreicht hat. Für den Roller kannst Du unterschiedlich vorgehen. Am einfachsten ist es, wenn Du den Anfangsort zur Zeit 0 aus der Strecke berechnest, die der Roller seit der Begegnung zurückgelegt hat: xR,0 = 15 m/s . 5 s = 75 m. Dann gilt  für den Roller: (2)    xR = xr,0  + vR,0. t .	Das betrachtete Zeitintervall beginnt hier zur Zeit 0. Es müssen beide Anfangsorte für diesen Zeitpunkt berücksichtigt werden. Mit (1) ergibt sich  xP(0s) = 50 m  xP(5s) = 125 m  xP(0s) = 250 m
Den Zeitpunkt der Begegnung (Bedingung: gleicher Ort) erhält man aus (1) = (2), also       xP,0  + vP,0 .t + a/2 t2 =  xr,0  + vR,0. t . oder nach Sortierung: (xP,0 - xr,0)  + (vP,0 - vR,0).t + a/2 t2 =  0 Dies führt - nach Multiplikation mit 2/a zu einer quadratischen Gleichung für t :  t2 + 2 . (vP,0 - vR,0)/a . t  + 2(xP,0 - xr,0) /a= 0   bzw. Mit der Lösungsformel kannst Du die quadratische Gleichung leicht selbst lösen. Es sollte herauskommen: t1/2 =  -  (vP,0 - vR,0)/a  +/- sqrt( ( (vP,0 - vR,0)/a )2 - 2(xP,0 - xr,0) /a )	Ausnahmsweise sollen hier schon einmal vor der allgemeinen Auflösung Werte eingesetzt werden:  t2 - 2 . 5m/s /( 2 m/s2) . t  - 25 s2= 0  t2 - 5 s . t  - 25 s2 = 0 Diese quadratische Gleichung hat wegen der Diskriminante D = 25 s2 + 100 s2 = 125 s2 zwei Lösungen, also t1/2 = 1/2.( + 5 s +/- sqrt(125 ) s ) Die positive Lösung davon ist t2 = 8,1 s.
Erst jetzt werden Zahlenwerte eingesetzt. Das sollte aber in der 11. Klasse reine Routine für Dich sein.	Du solltest erhalten: Zur Zeit t2 = 8,1 s, also 8,1s  nach dem Beginn der Beschleunigung passiert der PKW gerade wieder den Roller.

Hinweis:

Der Ausgang von den Zeitintervallen (Dt)   führt unmittelbar zur Verwendung der richtigen Zeitdifferenzen! Es gibt keine Verwechslungsmöglichkeit zwischen den Zeitpunkten gleicher Geschwindigkeit und gleichen Ortes!

Ohne die Graphen hast Du kaum eine Chance, die richtigen Ansätze zu finden!

Denke Dir ähnliche Vorgänge aus und übe zunächst nur, die zugehörigen Graphen richtig zu zeichnen. In einem Fall könntest Du dazu auch einen Ansatz machen und die Rechnung durchzuführen.

Für eine Schulaufgabe wäre diese Aufgabe viel zu komplex!