Aufgabe:

Von einer Bewegung ist das t-v-Diagramm gegeben. Die Masse des Fahrzeugs soll 2 kg sein. a) Beschreibe die Bewegung in den einzelnen Abschnitten (Gleichförmige oder gleichmäßig beschleunigte Bewegung? Ruht das Fahrzeug? Bewegt sich das Fahrzeug in positive oder negative Richtung? Wann hält das Fahrzeug, vielleicht kurzzeitig ? In welchen Intervallen wird das Fahrzeug schneller, in welchen langsamer ? Größe der Geschwindigkeit, der Beschleunigung ? ... )! b) Zeichne maßstäblich - zum t-v-Diagramm passend - ein t-a-Diagramm und ein t-F-Diagramm. c) Zeichne maßstäblich ein t-x-Diagramm, wenn zur Zeit 0 s der Ort  - 2 m sein soll! Benutze dazu das Flächenverfahren.

So könnte Ihre Lösung im Heft sein.

Hinweise:

1. Beschleunigung ist Geschwindigkeitsänderung pro Zeitintervall. Sie ist gleich der Steigung des t-v-Graphen. Negative Beschleunigung bedeutet, dass die Geschwindigkeit kleiner wird. Positive Beschleunigung bedeutet, dass die Geschwindigkeit größer wird.

2. Positive Geschwindigkeit kennzeichnet eine Bewegung in positive Richtung (häufig auch "vorwärts" genannt). Negative Geschwindigkeit beschreibt eine Bewegung in negative Richtung (häufig auch "rückwärts" genannt).

3. Wenn eine positive Geschwindigkeit kleiner wird, bedeutet das auch, dass der Körper langsamer wird. Wenn eine negative Geschwindigkeit noch kleiner wird, bedeutet das, dass der Körper sich weiterhin in negative Richtung bewegt, aber sogar noch schneller. In beiden Fällen ist die Beschleunigung negativ, da die Geschwindigkeit kleiner wird.

4. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, bedeutet negative Beschleunigung ein Abbremsen. Wenn die Geschwindigkeit negativ ist, bedeutet negative Beschleunigung ein Schnellerwerden, allerdings in negative Richtung.

a)  Beschreibung der Bewegung Der Aufgabensteller hat, ohne dass das in der Aufgabe erwähnt wird, vorher ein bestimmtes Koordinatensystem festgelegt. In ihm ist die positive Richtung (häufig Vorwärtsrichtung genannt) und die negative Richtung (häufig Rückwärtsrichtung) definiert.	Von 0 s bis 2 s wächst die positive Geschwindigkeit. Der Körper ruht dabei zuerst und beschleunigt dann auf die Geschwindigkeit 4 m/s.  Dabei ist die Geschwindigkeit positiv, d.h. das Fahrzeug bewegt sich in positive Richtung. Von 0 s bis 2 s liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor, da die Beschleunigung (Steigung des t-v-Graphen) konstant ist. Die positive Beschleunigung a = 2 m/s2 bedeutet hier eine Geschwindigkeitszunahme. Von 2 s bis 4 s erkennt man an der positiven Geschwindigkeit, dass sich das Fahrzeug weiterhin in positive Richtung bewegt. Da die Geschwindigkeit konstant 4 m/s ist, handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung. Die Beschleunigung ist also 0. Von 4 s bis 6 s ist die Geschwindigkeit immer noch positiv: das Fahrzeug bewegt sich also weiterhin in positive Richtung, aber seine Geschwindigkeit nimmt ab und erreicht bei 6 s den Wert 0. Dort hält also das Fahrzeug kurzzeitig an. Da die Geschwindigkeit abnimmt, ist die Beschleunigung negativ. Aus der Steigung ergibt sich der Wert a = - 2 m/s2. Da die Geschwindigkeit positiv ist, bedeutet hier negative Beschleunigung ein Abbremsen. Da die Beschleunigung konstant ist, liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor. Von 6 s bis 8 s liegt dieselbe Beschleunigung vor und damit ebenfalls eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Da die Geschwindigkeit negativ ist, bewegt sich das Fahrzeug in negative Richtung. Dabei beschleunigt es aus der Ruhe auf eine negative Geschwindigkeit; es wird dabei immer schneller. Negative Beschleunigung ist hier mit einem Schnellerwerden verbunden, da die Geschwindigkeit negativ ist. Es gibt einen Zeitpunkt, zu dem das Fahrzeug kurzzeitig ruht ( 6 s). Die kleinste Geschwindigkeit hat es bei 8 s. Dort ist es genauso wie zwischen 2 s und 4 s am schnellsten, bewegt sich aber rückwärts.
b) Beschleunigung und Kraft in Abhängigkeit von der Zeit	Aus der Steigung des t-v-Diagramms ergeben sich die Beschleunigungen der Abbildung. Dabei ist bemerkenswert, dass zwischen 4 s und 8 s die Beschleunigung konstant den Wert a = - 2m/s2 hat, da ja die Steigung dort konstant ist. Dies ist deshalb bemerkenswert, weil bei t = 6s die Geschwindigkeit ihr Vorzeichen ändert. Aus dem 2. Newtonschen Gesetz F = m.a erhält man wirkende Kraft. Diese zeigt zwischen 0 s und 2 s in positive Richtung und beschleunigt den Körper, der dabei sich ebenfalls vorwärts bewegend immer schneller wird. Zwischen 2 s und 4 s wirkt keine Kraft, da die Geschwindigkeit konstant bleibt. Zwischen 4 s und 8 s wirkt eine konstante Kraft in negative Richtung. Zwischen 4 s und 6 s bremst sie das Fahrzeug bis zum Stillstand, das sich aber bis dahin immer noch in positive Richtung bewegt. Nach dem Stillstand, von 6 s bis 8 s bewirkt die negative Kraft ein erneutes Schnellerwerden, diesmal in negative Richtung, rückwärts.
c) Aus dem Flächenverfahren unter Berücksichtung des Vorzeichens von v ergeben sich die Ortsänderungen rechts und der t-x-Graph:	Von 0s bis 2 s ergibt sich eine der Dreiecksfläche entsprechende Ortsänderung von + 4 m. Der Ort verändert sich also von - 2 m auf 2 m. Von 2 s bis 4 s ergibt sich eine der Rechtecksfläche entsprechende Ortsänderung von + 8 m. Es wird also der Ort  2 m + 8 m = 10 m erreicht. Von 4 s bis 6 s ergibt sich eine der Dreiecksfläche entsprechende Ortsänderung von + 4 m. Es wird also der Ort 10 m + 4 m = 14 m erreicht. Von 6 s bis 8 s bewegt sich das Fahrzeug rückwärts, also mit der negativen Ortsänderung  - 4 m. Es wird also der Ort 14 m - 4 m = 10 m erreicht. Zwischen 0 s und 2 s liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor; der t-x-Graph muss also ein Stück einer Parabel sein. Weil zur Zeit 0 s die Geschwindigkeit 0 m/s ist, muss dort ein Scheitel vorliegen. Zwischen 2 s und 4 s liegt eine gleichförmige Bewegung vor; der t-x-Graph muss hier also eine Strecke sein. Zwischen 4 s und 8 s liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit konstanter Beschleunigung vor. Hier muss also der t-x-Graph wieder ein Stück einer Parabel sein. Weil zur Zeit 6 s die Geschwindigkeit 0 m/s ist, muss dort ein Scheitel sein. Umgekehrt muss an den Scheiteln des t-x-Graphen, also den Punkten, wo seine Steigung 0 ist, wo also eine horizontale Tangente vorliegt,  die Geschwindigkeit 0 m/s sein. Der Vergleich des t-x- und des t-v-Diagramms bestätigt das.
Wollte man die Funktion x(t) für alle Zeiten zwischen 0s und 8 s angeben, müsste man abschnittsweise die Grundgleichungen oder das PUB anwenden.

 

Es ist wichtig, dass Sie vorgegebene Graphen nach diesem Beispiel analysieren können, oder dass Sie Graphen skizzieren können. Ohne die Graphen haben Sie bei Rechenaufgaben kaum eine Chance, die richtigen Ansätze zu finden!

Denke Dir ähnliche Vorgänge aus und übe zunächst nur, die zugehörigen Graphen richtig zu zeichnen. In einem Fall könntest Du dazu auch die Beschreibung durchführen.

Hilfreich ist es häufig, besonders bei der Angabe der Funktionen v(t) und x(t), wenn Du darauf getrimmt bist, die Grundgleichungen für Zeitintervalle (Dt) zu verwenden. Alle bisher behandelten Fälle sind danach in den beiden Grundgleichungen enthalten:

oder nach dem PUB (Prinzip der Unabhängigkeit der Bewegungen):

Dt  wird dann für das jeweilige Zeitintervall durch t ausgedrückt.