Aufgabe:

Vor der auf Rot geschalteten Ampel steht ein PKW. In dem Augenblick, wo die Ampel auf Grün schaltet, passiert ein Radfahrer mit der Geschwindigkeit vR = 18 km/h. Nach einer Reaktionszeit von t0 = 0,50 s startet der PKW mit konstanter Beschleunigung a = 4,0 ms-2. a) Wann haben beide Fahrzeuge gleiche Geschwindigkeit? b) Wann hat der PKW den Radfahrer eingeholt?

Wahl des Koordinatensystems: Die Richtung, in die sich beide Fahrzeuge bewegen, soll die positive Richtung sein (x-Koordinaten sind positiv und wachsen in diese Richtung). Der Koordinatenursprung soll an der Ampel beim Umschalten auf Grün sein. Beide Fahrzeuge befinden sich also zur Zeit 0, beim Umschalten, am Ort 0. Der Graph des Radfahrers im t-v-Diagramm ist eine Parallele zur t-Achse bei der Geschwindigkeit v0. Bis zur Zeit t = t0 ruht der PKW ( v = 0). Von da an beschleunigt er gleichmäßig: von da an muss seine Geschwindigkeit linear wachsen mit der konstanten Steigung a. Im t-x-Diagramm muss der Graph des Radfahrers eine Ursprungs-(Halb-)Gerade sein. Ihre Steigung ist gerade die konstante Geschwindigkeit v0. Bis zur Zeit t = t0 ruht der PKW am Ort x0 = 0. Der Graph verläuft also im t-x-Diagramm auf der Zeitachse bis zu t0. Von da an beschleunigt der PKW. Von jetzt ab ist also der t-x-Graph ein Ast einer Parabel mit dem Scheitel bei t0 (weil dort v = 0 ). Für den Radfahrer liest Du für seine Geschwindigkeit vR aus dem t-v-Diagramm ab: (1)    vR = v0 = konst.      und aus dem t-x-Diagramm für seinen Ort: (2)    xR = v0 . t Für den PKW ("Auto A"):       vA = 0            für 0 < t < t0:                         hier steht der PKW ja noch ! (3)  vA = a Dt = a . ( t - t0)   für    t0 < t:          hier beschleunigt der PKW  gleichmäßig! Für die Bewegung im zweiten Zeitintervall ist - bezogen auf den Intervall-Anfang  - also t - t0 zu setzen. Aus dem t-x-Diagramm folgt für den PKW:        xA = 0     für      für 0 < t < t0 und (4)   xA = ½ .a (t - t0 )2   für  t0 < t a) Gleiche Geschwindigkeit (Bedingung: gleiche Geschwindigkeit von Radfahrer und Auto) zur Zeit  t1 erhält man also für  (1) = (3): v0 = a ( t1 - t0) Daraus erhält man also  t1 = t0 + v0 / a Mit (2) ergibt sich damit  xR = v0 . (t0 + v0/a) und mit (4): xA = ½ .a (t0 + v0 / a - t0 )2 = v02 / 2a woraus sich leicht der Abstand d bei gleicher Geschwindigkeit errechnen lässt (der Radfahrer ist immer noch voraus): d =  xR - xA =  v0 . (t0 + v0/a) - v02 / 2a d =  v02 / 2a + v0.t0 b) Den Zeitpunkt der Begegnung (Bedingung: gleicher Ort von Radfahrer und Auto) erhält man aus (2) = (4), also        v0 . t2   = ½ .a .(t2 - t0 )2 Dies führt - nach Multiplikation mit 2/a zu einer quadratischen Gleichung für t2 : (t2 - t0 )2 - 2 . v0 /a . t2  = 0   bzw. t2 2  - 2. t2 ( t0 + v0/a ) +  t02 = 0 Mit der Lösungsformel kannst Du die quadratische Gleichung leicht selbst lösen. Es sollte herauskommen: t2  = t0 + v0/a + sqr( (v0/a) 2 + 2. v0/a. t0   ) Antwortsatz mit Zahlenwerten: a) Zur Zeit t1 = 1,8 s, also 1,8 s  nach dem Umschalten auf Grün haben beide Fahrzeuge gleiche Geschwindigkeit. b) Zur Zeit t2 = 3,4 s, also 3,4 s  nach dem Umschalten auf Grün passiert der PKW gerade den Radfahrer.