Aufgabe:

Jede physikalische Aufgabe in der Mechanik setzt in der Regel die Wahl eines Koordinatensystems voraus. Dabei kann man aber nichts falsch machen: Jede beliebige Wahl ist richtig. Aber es gibt häufig eine bestimmte Wahl des Koordinatensystems, mit der sich die Aufgabe besonders leicht lösen lässt. Vergleichen Sie die notwendigen Rechnungen beim Freien Fall mit Start aus der Ruhe für folgende Wahl des Koordinatensystems: a) Ursprung am Startpunkt, positive y-Richtung nach oben, b) Ursprung am Startpunkt, positive y-Richtung nach unten.

a) Aufstellen eines Ansatzes anhand eines Graphen	Will man eine solche Aufgabe nicht als reine Algebra-Aufgabe aufziehen, muss man sich die physikalischen Ansätze anhand eines Graphen überlegen: Die Ansätze ergeben sich daraus ganz automatisch und sicher
Dazu ist es notwendig, zuerst ein Koordinatensystem zu wählen:
a) positive Orts-Achse (y-Achse) nach oben, d.h. entgegengesetzt zur Richtung der Schwerkraft (wie sie dann später gezeichnet wird, ist gleichgültig)	Die Kraft wirkt in negative y-Richtung, also gilt für die y-Koordinate der Kraft: F = - m.g aus dem 2. NG folgt die Beschleunigung: m.a = F = -m.g, also a = -g Überlegen Sie: Die Beschleunigung a ist offensichtlich negativ. Aber das bedeutet keine Verzögerung, sondern im Gegenteil ein Schnellerwerden, nämlich in negative y-Richtung! Wegen a = Dv/Dt = v.t    (da das Zeitintervall Dt zur Zeit 0 beginnt, wo auch die Geschwindigkeit noch 0 ist, also v = a.t = -g.t Überlegen Sie: Die Geschwindigkeit ist offensichtlich stets negativ; es handelt sich ja um eine Bewegung in negative y-Richtung! Weil die Beschleunigung in die gleiche Richtung erfolgt, macht a die Geschwindigkeit "immer negativer", d.h. die Geschwindigkeit wird immer kleiner (also a < 0), wobei der fallende Körper immer schneller wird. Zur Ortsänderung Dy kommt man z.B. durch das Flächenverfahren (Abb. 2): Der in Dt (bzw. t) zurückgelegte Weg (!, nie negativ!) entspricht der Fläche unter dem v(t)-Graphen.                               1/2 . /a/.t . t Die zugehörige Ortskoordinate y muss aber negativ sein, also y(t) = 1/2 a.t2 = - 1/2 gt2 Das Flächenverfahren (Integration) hat den Vorteil, dass es allgemeingültig ist und für beliebige Bewegungen angewandt werden kann. Ein anderes Verfahren nutzt die mittlere Geschwindigkeit vD aus. Danach gilt y = vD.t = 1/2 at.t = -1/2 gt2  weil für konstanter Beschleunigung (und nur hier) gilt:  vD = 1/2.a.t (In allgemeineren Fällen wäre das schwierigere Problem zu lösen, wie sich die Durchschnittsgeschwindigkeit errechnet.) An den Skizzen (Abb. 3) kann man qualitativ erkennen: der y(t)-Graph besitzt tatsächlich negative Steigung (Geschwindigkeit), der v(t)-Graph ebenfalls tatsächlich negative Steigung (Beschleunigung), wie es bei der getroffenen Wahl des Koordinatensystems sein muss.
b) positive Orts-Achse (y-Achse) nach unten, d.h. in Richtung der Schwerkraft  (wie sie dann später gezeichnet wird, ist gleichgültig)	Zwar wird in der Regel die positive y-Achse nach oben gewählt, aber das ist eine reine Gewohnheit. Wie man sie später zeichnet, ist ohnehin egal. Bei dieser Aufgabe ist es naheliegender, die positive Orts-Achse nach unten zu orientieren, weil dann mit der Schwerkraft auch Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungskoordinaten nie negativ sind. In diesem Fall also:       F = m.g   (auch die Gewichtskraft ist nach unten, in positive y-Richtung gerichtet). Mit dem 2. NG also   m.a. = m.g  bzw.  a = g  (positive Beschleunigung!). Wegen a = Dv/Dt = v/t in diesem Fall (Zeitintervall Dt beginnt zur Zeit t = 0), gilt also v = a.t  (v ist also nie negativ, Bewegung erfolgt in positive y-Richtung, nach unten). Nach dem Flächenverfahren entspricht die Fläche unter dem v(t)-Graphen der Ortsänderung, also y(t) = 1/2.a.t.t = 1/2 gt2 Überlegung: Auch die Ortskoordinaten sind nie negativ, an den Graphen erkennt man, dass die Steigung des y(t)-Graphen (die Geschwindigkeit) und die Steigung des v(t)-Graphen (Beschleunigung) nie negativ sind.
Wertung/Vergleich:	Den scheinbaren Vorteil, dass man die positive y-Richtung nach oben wählt, hat man nach dem Weg a) durch den Nachteil erkauft, dass man ständig Überlegungen wegen der richtigen Vorzeichen anstellen muss. Verzichtet man auf diese Gewohnheit, wird die Rechnung viel einfacher, weil negative Vorzeichen nicht vorkommen. M.E. entspricht Weg b) der "natürlicheren" Wahl des Koordinatensystems! Bei der Wahl von Weg a) hat man zusätzlich das Problem, dass die Beschleunigung dann negativ ist, obwohl der Körper immer schneller wird. Dass eine negative Beschleunigung in 50% der Fälle nichts mit einer Verzögerung zu tun hat, muss man erst einmal verstanden haben!

Hinweis:

Ohne die Wahl des Koordinatensystems haben Sie kaum eine Chance, die richtigen Ansätze zu finden!

Denke Dir ähnliche Vorgänge aus und übe zunächst nur, die zugehörigen Graphen richtig zu zeichnen. In einem Fall könntest Du dazu auch einen Ansatz machen und die Rechnung durchzuführen.

Für später ist es dabei besonders hilfreich, wenn Du darauf getrimmt bist, die Grundgleichungen für Zeitintervalle (Dt) zu verwenden. Alle bisher behandelten Fälle sind danach in den beiden Grundgleichungen enthalten:

oder nach dem PUB (Prinzip der Unabhängigkeit der Bewegungen):