Es soll die Masse eines Elektrons bestimmt werden.

Vielleicht kennen Sie den Wert der Elektronenmasse schon aus anderem Zusammenhang:

m = 9,1 . 10 -31 kg

Das mussten Sie damals einfach glauben. Hier erfahren Sie, wie man auf diesen winzig kleinen Wert kommt!

Diese Masse ist wirklich sehr klein! Schätzen Sie doch einmal ab, wieviele Elektronen benötigt würden, um 1 kg Elektronen auf die Waagschale zu legen! Wegen einer anderen Eigenschaft eines Elektrons könnte man aber nicht mal einen winzig kleinen Bruchteil von so viel Elektronen auf einer Waagschale anhäufen. Wegen ihrer elektrischen Ladungen würden sie sich nämlich ....

Millikan fand heraus, dass Elektronen die kleinste frei in der Natur vorkommende Ladung besitzen, nämlich je eine negative Elementarladung

e = 1,6 . 10 - 19 A.s

Hier wird ein Trick angewendet. Man misst nämlich eine massenabhängige Kraft, eine Zentripetalkraft, durch eine andere, die bekannte magnetische Lorentz-Kraft, und erhält damit die unbekannte Masse.

Das geht so:

Man verwendet ein Fadenstrahl-Rohr. Es enthält ein verdünntes Wasserstoff-Gas und eine Elektronenkanone, die einen scharf gebündelten Elektronenstrahl erzeugt. Den Verlauf des Elektronenstrahls kann man am schwach violetten Leuchten im Gas erkennen. Wie die Elektronenkanone aufgebaut ist, können Sie nachlesen, wenn Sie "Elektronenkanone" anklicken.

Sie wissen, dass die Geschwindigkeit v, mit der Elektronen aus einer Elektronenkanone austreten, durch die Beschleunigungsspannung U berechnet werden kann, wenn man die Elektronenladung q und die Elektronenmasse m kennt. Diese musste früher also vorausgesetzt werden.

Bewegen sich die Elektronen senkrecht zu einem Magnetfeld mit der Flussdichte B, dann erfahren sie eine Lorentz-Kraft F_L . Diese lenkt sie ab, unter geeigneten Voraussetzungen sogar auf eine Kreisbahn. Für sie ist eine Zentripetalkraft F_Z nötig: das ist gerade die Lorentz-Kraft F_L : Die Lorentz-Kraft wirkt als Zentripetalkraft.

Im Versuch mit dem Fadenstrahl-Rohr wird ein homogenes Magnetfeld durch ein Paar von Helmholtz-Spulen erzeugt. Die Magnetfeldrichtung muss in einer bestimmten Weise zur Austrittsgeschwindigkeit der Elektronen aus der Elektronenkanone gerichtet sein, damit die Elektronen durch die Lorentz-Kraft auf eine Kreisbahn gezwungen werden.

Ansatz (1): Die Lorentz-Kraft wirkt als Zentripetalkraft:

              (1)     m v² / r =   e v B

oder  nach Kürzen mit v:     mv / r =  e B.   m v ist aber gerade der Impuls  p eines Elektrons, das aus der Elektronenkanone austritt:

p = e r B

Das ist schon das erste Ergebnis, mit dem Sie einen Teil des Versuchs verstehen können:

Der Radius r der Kreisbahn hängt nur vom Impuls p ( = m.v) der Elektronen, vom Magnetfeld B und von der Elektronenladung e ab.

Verändert man im Experiment den Impuls p durch die Beschleunigungsspannung U der Elektronenkanone, oder verändert man die magnetische Flussdichte B, dann verändert sich auch der Radius r.

Schauen Sie sich das im Versuch an: Verändern Sie die Elektronengeschwindigkeit v durch die Beschleunigungsspannung U der Elektronenkanone, und verändern Sie bei festem Betrag v der Elektronengeschwindigkeit v die magnetische Flussdichte B. (Dies geschieht im Realexperiment, indem Sie den Strom durch die Helmholtz-Spulen verändern).

Finden Sie eine Tendenz heraus, wie sich r verändert, wenn U oder B verändert werden! Schreiben Sie eine Notiz zum Versuch und die beobachtete Tendenz ins Heft!

Mit den zwei Größen U und B kann man nun die zwei Größen v und m der Elektronen bestimmen, wenn die Elektronenladung e bekannt ist:

Offenbar spielt der Elektronenimpuls p = m .v die entscheidende Rolle. Er ist bestimmt durch die Beschleunigungsspannung U.

Nach dem Energiesatz wird bei der Beschleunigung die potentielle Energie e.U in eine gleichgroße kinetische Energie mv²/2 umgewandelt:

Ansatz (2): Energieerhaltungssatz:

                  mv² / 2 =   e. U

oder mit dem Impuls p = m . v:

                 p² / 2m =   e . U

Aufgelöst nach p² erhalten Sie also:

     (2)       p²  = 2 .  e . m . U

Setzen Sie hier (1) ein, erhalten Sie:

                e² . r² . B²  =  2 . e . m . U

Mit einem Faktor e können Sie kürzen. Nach etwas Sortieren erhalten Sie:

 

(3)    e/m =    2 U / ( r2 B2 )

e/m wird als "spezifische Ladung" bezeichnet, spezifisch, weil sie auf die Masse bezogen ist ( also Ladung pro Masseneinheit).

Sie ist charakteristisch für unterschiedliche Bauteile der Atome: Protonen und Elektronen haben zwar dem Betrag nach die gleiche Ladung, aber ganz unterschiedliche Massen. Dementsprechend unterscheiden sie sich auch durch die spezifischen Ladungen.

Damit erkennen Sie, weshalb das Fadenstrahl-Rohr als Waage benutzt wird: Für die Masse m erhalten Sie nämlich:

(4)   m = e r2 B2 / 2U

 Sie brauchen also nur noch r, B und U zu messen und erhalten damit die spezifische Ladung e/m oder die Masse m.

Passend zu einem Wertepaar B und U stellt sich der Radius r der Elektronenbahn gerade so ein, dass die richtige Masse m herauskommt. m selbst hängt natürlich weder von r, noch von B oder U ab. m ist eine Eigenschaft jedes Elektrons.

Führen Sie den Versuch jetzt mehrmals für verschiedene Werte von U und B durch (ca. 5 mal) und ermitteln Sie jeweils die Elektronenmasse. Haben Sie, abgesehen von kleinen Messfehlern, wirklich den oben genannten Wert erhalten?

Es sind noch einige Fragen zu klären:

1. Unter welchen Voraussetzungen ergibt sich eine Kreisbahn? Wie ist die dann zu begründen?

2. Welche Bahn ergibt sich, wenn die Voraussetzungen nicht erfüllt sind?

3. Spielt die Ablenkung von geladenen Teilchen durch ein Magnetfeld, und speziell diese abweichenden Bahnen für unser Leben außerhalb des Physik-Unterrichts eine Rolle?

(Sie werden es nicht glauben: Ohne sie wäre unser Leben auf der Erde nicht möglich; es gäbe keine Menschheit! Und falls Sie oder Ihre zukünftige Frau irgendwann einmal gerade ein Baby erwarten sollten, ausgerechnet dann, wenn Sie nach San Francisco fliegen wollten, sollten Sie sich dieses Kapitel genau durchlesen!)

Die nachfolgenden Fragen  interessieren mehr den Physiker. Auch heutzutage wenden Physiker an den großen Teilchen-Beschleunigern   CERN und DESY oder SLAC diese Überlegungen tagtäglich an, weil sie mit ihrer Hilfe - eben nach Bestimmung von e/m - die kleinsten Bausteine der Materie identifizieren können:

4. Wie hängt der Bahn-Radius r des Elektrons bei konstantem Magnetfeld vom Impuls bzw. der Geschwindigkeit v ab?

5. Wie hängt der Radius r des Elektrons bei konstantem Magnetfeld B von der Beschleunigungsspannung U ab?

6. Wie hängt der Radius r des Elektrons bei konstanter Geschwindigkeit (Beschleunigungsspannung U) vom Magnetfeld ab?

7. Wie hängt die Umlaufszeit T bei konstantem Magnetfeld B von der Elektronengeschwindigkeit (Beschleunigungsspannung U) ab?

8. Wie hängt die Umlaufszeit T bei konstanter Elektronengeschwindigkeit (Beschleunigungsspannung U) vom Magnetfeld B ab?

Die Fragen 1 - 3 sollten Sie durch theoretische Überlegungen klären.

Die Fragen 4 - 8 könnten Sie durch den Versuch klären (Menü-Punkt: FUNKTIONEN im Programm SPEZLAD oder SPEZKURS). Anschließend sollten Sie sich aber auch theoretisch überlegen, warum das gerade so sein muss!

Wenn Sie so vorgehen, haben Sie einen typischen Weg physikalischer Forschung beschritten. Sie haben eingesehen, wie, auch heutzutage noch, Forschung abläuft.

Viel Spaß dabei!