Ein Zeit-Ort-Diagramm oder auch ein Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm der beschleunigten Rollbewegung längs einer schiefen Ebene (Kugelrinne, Fallrinne) soll registriert werden. Mittels Tastendruck wird die jeweilige Zeit beim Passieren einer Marke vom Computer gestoppt und registriert.

BESCHREIBUNG

Nachdem die mittelalterlichen Wissenschaftler die Notwendigkeit erarbeitet hatten, die Natur mittels Messungen zu erfassen (z.B. Roger Bacon ca. 1220 - 1292), war Galileo Galilei (1564 - 1642) der erste, dem dies bei einer beschleunigten Bewegung wirklich gelang. Es ging bei ihm um die Gesetze des Freien Falls. In Ermangelung geeigneter Kurzzeituhren wandte er dazu zwei Tricks an: erstens verlangsamte er die Bewegung, indem er eine Kugel eine nur schwach geneigte schiefe Ebene hinabrollen ließ, zweitens markierte er Wegabschnitte, für die jeweils die gleiche Zeit benötigt wird. Galilei spannte zu diesem Zweck Darmsaiten quer über die Fallrinne. Wenn nun die herabrollende Kugel über sie hinwegsprang, gab es einen kurzen Ton. Galilei verschob die Darmsaiten solange, bis gleichmäßige Zeitabstände zwischen den Marken bestanden. Er kontrollierte das angeblich, indem er eine Melodie summte. Menschen mit gutem Rhythmusgefühl können so Zeitabschnitte sehr genau einhalten.

Der Versuch soll hier, etwas abgewandelt, wiederholt werden: Verwenden Sie als schiefe Ebene eine Vorhangschiene oder eine U-förmige Alurinne aus einem Bastelgeschäft oder Baumarkt. Lassen Sie eine Kugellagerkugel hinabrollen oder eine Murmel. Bringen Sie mit einem Filzstift irgendwelche Marken an und stoppen Sie die Zeiten von Marke zu Marke mit dem vorliegenden Computer-Programm.

In einer Versuchsvariante kann auch für beliebige Marken, z.B. äquidistante, das x(t)-Diagramm aufgenommen werden. Das Stoppsignal kann außer von der Tastatur auch von einem äußeren Signalgeber, z.B. von Lichtschranken kommen.

FRAGESTELLUNGEN

• - Wie erfolgt eine beschleunigte Bewegung?

• - Zeit-Ort-Gesetz x(t) einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung?

• - Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz v(t)?

• - Definition der Beschleunigung als Steigung im v(t)-Diagramm?

• - Einfluß der Bahnneigung?

• - Proportionalität zwischen Hangabtriebskraft und Beschleunigung?

• - Einfluß des Trägheitsmoments der rollenden Kugel auf die Beschleunigung? (Vergleich mit einer gerechneten Gleitbewegung)?

• - Auswertungsverfahren für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen: x(t)-Diagramm, ¹x(t)-Diagramm?

• - 2. Gesetz von Newton (F prop. a bei konstanter Masse)

EINSATZMÖGLICHKEITEN

Schülerversuche im Klassenverband mit mehreren Gruppen; häuslicher Schülerversuch am schülereigenen Computer; Demonstrationsversuch an Schulen mit geringer Ausstattung

HINWEISE ZUM EINSATZ

Mit Stativmaterial oder mit untergelegten Diagläsern, Disketten etc. könnte eine bestimmte Steigung der schiefen Ebene vorgegeben werden. Bei der dann bekannten Hangabtriebskraft könnte die Beschleunigung bzw. das x(t)-Diagramm bei einer Gleitbewegung (ohne Reibung) berechnet werden. Auf die unterschiedliche Beschleunigung bei der Rollbewegung und bei der Gleitbewegung der Kugel könnte im Zusammenhang mit dem Trägheitsmoment hingewiesen werden.

TECHNISCHE HINWEISE

Wegen der Einfachheit des Versuchs wurde dieses Programm eigentlich für Stoppen durch Tastendruck entwickelt.

In manchen Programm-Varianten können externe Signale zum Messen herangezogen werden.

TYPISCHE VERSUCHSERGEBNISSE

Wurzel aus dem Ort x in Abhängigkeit von der Zeit: Die Linearität bestätigt die quadratische Gesetzmäßigkeit für den Ort x

Ort x in Abhängigkeit von der Zeitdifferenz zwischen 2 Messungen: Die Marken sind günstig gewählt, so daß im Rahmen der Meßgenauigkeit gleiche Zeitdifferenzen zwischen dem Passieren aufeinanderfolgender Marken

Großanzeige von Zeit t und Ort x, z.B., wenn das Programm in einem Demonstrationsversuch eingesetzt werden soll

Wurzel aus dem Ort x in Abhängigkeit von der Zeit t für verschiedene Bahnneigungen

Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit, gemessen nach der Zeitmittenmethode: Beachtliche Linearität trotz der primitiven Meßmethode! Die Beschleunigung ist hier also 0,031 m/s2.

Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t bei verschiedenen Bahnneigungen

Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t mit Steigungsdreieck, das mit der Maus mitläuft. Links oben stehen die jeweiligen Seitenlängen des Steigungsdreiecks, die eine einfache Ermittlung der Beschleunigung durch Kopfrechnung ermöglichen.

DIDAKTISCHE HINWEISE

Zur Zeitmittenmethode:

Die Zeitmittenmethode erlaubt es, Momentangeschwindigkeiten bei gleichmäßig beschleunigten Bewegungen exakt für beliebige endlichen Zeitintervalle aus einer Messung zu ermitteln.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit v = dx/dt in einem Intervall dt stimmt i.A. nicht mit der Momentangeschwindigkeit an den Intervallrändern überein. Dies wird häufig benutzt, um eine Verbindung zwischen dem Begriff der Momentangeschwindigkeit und der Definition der Ableitung durch den Grenzübergang verschwindenden Zeitintervalls zu diskutieren.

Physikalisch natürlicher ist es, die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall nicht einem Intervallrand zuzuordnen, sondern der Intervallmitte ('Zeitmitte'). Wenn sich in einem Zeitintervall dt die Momentangeschwindigkeit ändert, ist die Annahme plausibel, daß die Durchschnittsgeschwindigkeit der Momentangeschwindigkeit in der Mitte des Zeitintervalls am nächsten kommt. Bei Bewegungen mit a = konst. stimmt die Durchschnittsgeschwindigkeit, wie man leicht nachrechnen kann, mit der Momentangeschwindigkeit in der Zeitmitte sogar exakt überein:

Statt - im Interesse der Infinitesimalrechnung - physikalisch gewaltsam die Durchschnittsgeschwindigkeit dem Intervallrand zuzuordnen, kann es sich empfehlen, die physikalisch naheliegendere Zuordnung vorzunehmen, zumal da diese bei den schulischen Bewegungen meist sogar exakt ist.

Im Programm wird demnach die Durchschnittsgeschwindigkeit in beliebigen Zeitintervallen der Zeit der jeweiligen Intervallmitte zugeordnet. Deshalb werden Ortsmessung und v-Messung im Programm getrennt, da Ort x und Geschwindigkeit v zu verschiedenen Zeiten gelten (am Intervallanfang bzw. zur Intervallmitte).

Zur Herleitung des 2. Gesetzes von Newton:

Bei der Bahnlänge l und der Überhöhung h gilt für die Hangabtriebskraft F_H = m.g. h/l. Die beschleunigende Kraft ist also proportional zur Höhe h. Die gesuchte Proportionalität zwischen a und F_H ist also gleichbedeutend mit der Proportionalität a prop. h. Diese gilt auch nach der korrekten Theorie, wenn das Drehmoment und das Trägheitsmoment der rollenden Kugel berücksichtigt werden. Es muß sorgfältig durch eine kleine anfängliche Bahnneigung für Reibungsausgleich gesorgt werden.

MENÜPUNKTE	zurück
I DESK	I.1 QUIT Bricht das Programm ab. I.2 START Beginnt eine neue Messung. Das Programm verbleibt zunächst in einem Wartemodus. Dabei ertönt ein Pfeif ton, wenn die Startbedingungen günstig sind (z.B. wenn die Lichtschranke, die das Startsignal geben soll, noch nicht unterbrochen ist, oder wenn das Programm auf den startenden Tastendruck wartet. Erst nach erneu ter Betätigung einer Taste oder einer Maustaste startet die Uhr bzw. ist bereit zum Start durch ein externes Signal. I.3 INFO Informiert über das Programm, erläutert einige der Fra gestellungen, die mit Hilfe des Programms bearbeitet werden können. I.4 AUTOR Nennt den Autor des Programms. I.5 LIZENZ Bringt die Adresse des Lizenznehmers auf den Bildschirm.
II MESSART	II.1 HANDSTOPP Schaltet um zwischen Stoppen durch Tastendruck EIN/AUS oder durch externes Signal. II.2 ÄQUIDISTANZ Meldet dem Computer äquidistante Marken. Der Computer fragt dann nach der Zahl der Messungen und den Abstand der äquidistanten Marken. II.3 x-EINGABE Meldet dem Computer, daß willkürliche Ortsmarken benutzt werden sollen. Das Programm fragt dann nach der Zahl der Marken und deren Positionen. Die folgenden Funktionen sind evtl. nicht implementiert oder funktionieren mit neueren Betriebssystemen nicht: II.4 1 SIGN.: ssss Bei externem Signal: Stoppt bei jeder steigenden Flanke. II.5 2 SIGN.: ffff Bei externem Signal: Stoppt bei jeder fallenden Flanke. II.6 3 SIGN.: sfsf Bei externem Signal: Stoppt bei jeder steigenden und fallenden Flanke. Start mit steigender Flanke. II.7 4 SIGN.: fsfs Bei externem Signal: Stoppt bei jeder steigenden und fallenden Flanke. Start mit fallender Flanke.
III MODUS	III.1 ORTSMESSUNG Registriert Ort x und Zeit t. Läßt nur Ausgabe von x und Öx in Abhängigkeit von t zu. III.2 v-MESSUNG Registriert Geschwindigkeit v und Zeit t. Läßt nur Ausgabe von v in Abhängigkeit von t zu. v wird nach der Zeitmittenmethode ermittelt, die bei konstanter Beschleunigung exakt ist. Die folgenden Funktion ist  evtl. nicht implementiert oder funktionieren mit neueren Betriebssystemen nicht: III.3 INTERFACE-TEST Bei externem Signal: Zeigt akustisch Änderungen des Zustands des Zeitmeßeingangs PIN 13 (PC) bzw. PIN 11 (ATARI ST) an.
IV GRAFIK	IV.1 WAHL: x(t) Falls Ortsmessung gewählt: Erlaubt Ausgabe von x(t). IV.2 WAHL: SQR(x(t)) Falls Ortsmessung gewählt: Erlaubt Ausgabe von Öx(t). Zwischen beiden Einstellungen kann frei umgeschaltet werden. Die Auftragung von Öx ist insbesonde e dann sinnvoll, wenn die quadratische Gesetzmäßig keit von x(t) bestätigt werden soll (Gerade für t-Öx- Diagramm). IV.3 WAHL: v(t) Falls Geschwindigkeitsmessung gewählt: Erlaubt allein Ausgabe von v(t). Wird automatisch eingestellt, wenn v-Messung gewählt wird. IV.4 ZEIGEN Bringt den gewählten Graphen auf den Bildschirm; überschreibt frühere Meßkurven. IV.5 LÖSCHEN Löscht den Bildschirm, nicht aber die Meßdaten. Diese können erneut in einem sonst leeren Koordinatensystem gezeigt werden. IV.6 ZEITDIFFERENZ Schaltet um zwischen Messung der Gesamtzeit EIN/AUS seit Start (Voreinstellung) und Messung von Zeitdifferenzen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Messungen. Insbesondere für den originalen Galilei-Versuch ist diese Meßart zweckmäßig. IV.7 y-FAKTOR Ermöglicht Maßstabsveränderungen, so daß der Bild schirm optimal genutzt wird. IV.8 t-FAKTOR Ermöglicht Maßstabsveränderungen, so daß der Bild schirm optimal genutzt wird.
V AUSWERTUNG	V.1 GROßZIFFERN Gibt eine Liste von Meßdaten in Großzifferndarstellung aus. Wartet nach jeder Ausgabe auf einen Tastendruck. V.2 LISTE Bringt eine Liste der Meßdaten je nach Wahl der Messart auf den Bildschirm. V.3 DRUCKEN Gibt eine Liste der Meßdaten je nach Wahl der Meßart auf dem Drucker aus. V.4 AUSGLEICHSKURVE Zeichnet zusätzlich in den Graphen eine Ausgleichskurve (Parabel oder Gerade). V.5 STEIGUNGSDREIECK  Zeichnet zu einer Geraden ein Steigungsdreieck ein an Positionen, die durch die Maus festgelegt werden. Die Längen der Katheten werden ausgegeben. Eine einfache Ermittlung "per Hand" der Steigung ist so möglich. V.6 HARDCOPY Gibt die Bildschirmgraphik auf einem EPSON-kompatiblen Drucker aus. V.7 BESCHLEUNIGUNG Ermittelt aus den Daten der Ausgleichskurve die Beschleunigung. Aus didaktischen Gründen ist diese Funktion nicht in allen Fällen sinnvoll einzusetzen.
VI DISK	VI.1 LADEN Lädt eine Datei von Meßdaten aus einem frei wählbarem Verzeichnis. VI.2 SPEICHERN Speichert eine Datei von Meßdaten in ein frei wählbares Verzeichnis.

LITERATURHINWEISE

[1] Drake, Stillman, The Role of Music in Galileo's Experiments, Scientific American, 1975, S. 98

[2] Fölsing, Albrecht, Galileo Galilei, Prozeß ohne Ende, München, Zürich, 1983